Теорема о неявной функции


Скачать 22.66 Kb.
НазваниеТеорема о неявной функции
Дата05.11.2012
Размер22.66 Kb.
ТипДокументы
Теорема о неявной функции.

Теорема: Пусть функция f(x, y) и непрерывны в окрестности точки ; кроме того, = 0 и . Тогда такие, что .

Доказательство: Пусть для определённости > 0. Зафиксируем переменную x = x0. Тогда функция > 0 в некоторой окрестности точки y0, т.е.



Пусть Обозначим 1 = y1y0. В точке выполняется неравенство . Кроме того, на отрезке [y0 – 1, y0 + 1) функция монотонно возрастает. Следовательно, и . В силу непрерывности функции f(x, y), . Зафиксируем . Тогда функция f(x, y) при будет монотонно возрастающей, так как > 0, , .

Следовательно,  .

Далее, рассмотрим разность для этих x и y = y(x):

, так как f(x, y) = 0, .

Из этого равенства следует, что

или при .

Теорема доказана.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Пусть функция f(x, y) и дифференцируема в некоторой окрестности точки ; . Тогда согласно предыдущей теореме уравнение f(x, y) = 0 определяет в некоторой окрестности точки неявную функцию y = y(x), такую, что . Далее, пусть g(x, y) некоторая функция непрерывная вместе с частными производными в некоторой окрестности точки .

Рассмотрим функцию: .

Необходимое условие экстремума функции



или .

Кроме того, в точке , функция y = y(x) удовлетворяет условию:

.

Обозначим .

Тогда в точке должна выполняться система уравнений:

.

Это есть необходимое условие того, чтобы функция g(x, y) имела в точке локальный экстремум при условии: f(x, y) = 0.

Достаточным условием экстремума функции g(x, y) при условии f(x, y) = 0 будет неравенство: .

В общем случае задача условного экстремума состоит в следующем: требуется найти экстремум функции при наличии условий:



Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума состоит в том, что рассматривается вспомогательная функция Лагранжа:

.

В точке экстремума dG = 0

или .

Из этой системы находится точка локального экстремума.

Пример: Найти экстремум функции g(x, y) = xy при условии x+ y = 1.

Запишем функцию Лагранжа:

.

В точке экстремума dG,

т.е. .

Из этой системы находим .

Для исследования экстремума рассмотрим функцию:

. Заметим, что . Кроме того, в силу уравнения . Следовательно, и точка есть точка условного максимума функции g(x, y) = xy при условии x + y =1.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница