Условия Коши — Римана Пример. 1


Скачать 27.74 Kb.
НазваниеУсловия Коши — Римана Пример. 1
Дата27.10.2012
Размер27.74 Kb.
ТипРешение
Условия Коши — Римана

Пример. 1. Исследовать аналитические свойства функции w = EQ e и найти ее производную.


Решение

1. Находим действительную и мнимую части функции , используя определение показательной функции EQ e = EQ e(cos y+ i sin y).

Получаем u(x,y) = EQ ecos y, v(x,y) = EQ esin y.

2. Находим частные производные:

EQ \f( u, x) = EQ ecos y EQ \f( v, y) EQ = EQ ecos y

EQ \f( u, y) EQ = EQ – esin y EQ \f( v, x) EQ = EQ esin y

Частные производные, очевидно, непрерывны всюду и, следовательно, функции u(x,y) и v(x,y) всюду дифференцируемы.

3. Условия Коши –– Римана (1) выполняются в любой точке z ÎC и поэтому функция EQ e дифференцируема и аналитична при всех z

4. Вычисляем производную функции EQ e, например, по формуле

f'(z) = EQ \f( u, x) +i \f( v, x) = EQ e(cos y+i sin y) = EQ e

Ответ: функция f(z) = EQ e аналитична при всех z и f'(z) =EQ e.

Замечание. Все элементарные функции комплексной переменной аналитичны в области их определения, причем справедливы таблица производных и правила дифференцирования, известные для функций вещественной переменной.


Пример. 2. Исследовать аналитические свойства функции w =

EQ |z| и найти ее производную.


Решение

1. Находим действительную и мнимую части функции EQ |z|

Поскольку w = EQ |x+i y|= EQ x+y, имеем u(x,y) = EQ x+y и v(x,y) = 0.

2. Находим частные производные


EQ \f( u, x) = 2x, EQ \f( v, y) = 0, EQ \f( u, y) = 2y, EQ \f( v, x) = 0.

Частные производные, очевидно, непрерывны всюду и, следовательно, функции u(x,y)и v(x,y) всюду дифференцируемы.

3. Условия Коши — Римана (1) выполняются только в точке x = 0, y = 0. Следовательно, функция EQ |z| дифференцируема только в одной точке z = 0 и нигде не аналитична.

4. Вычисляем производную функции EQ |z| в точке z = 0, например, по формуле

f'(0) = EQ \f( u, x) (0,0)+ i \f( v, x) (0,0) = 0.

Ответ: функция f(z) =EQ |z| дифференцируема в единственной точке z = 0 и нигде не аналитична. f'(0) = 0.

Пример. 3. Исследовать аналитические свойства функции w = EQ

\o(\s\up6(–),z).


Решение

1. Находим действительную и мнимую части функции EQ \o(\s(–, ),z). Поскольку w = x – iy, имеем u(x,y) = x, v(x,y) = – y.

2. Находим частные производные

EQ \f( u, x) = 1, EQ \f( v, y) = – 1, EQ \f( u, y) = 0, EQ \f( v, x) = 0.

Частные производные, очевидно, непрерывны всюду и, следовательно, функции u(x,y) и v(x,y) всюду дифференцируемы.

3. Условия Коши — Римана (1) не выполняются ни в одной точке. Поэтому функция f(z) = EQ \o(\s\up6(–),z) нигде не дифференцируема, а следовательно, и не аналитична.

Ответ: функция f(z) = EQ \o(\s\up6(–),z) нигде не дифференцируема и не аналитична.


Применение STEM Plus


С помощью компьютера можно вычислить вещественную u и мнимую v части функции комплексной переменной f(z).

Для этого

  1. "Запомним", что z=x+i·y, выделив это выражение и нажав Alt+Enter2.

  2. Выделим Re(f(z)) и нажмем Alt+=. Получим u(x,y).

  3. Выделим Im(f(z)) и нажмем Alt+=. Получим v(x,y).

С помощью компьютера можно вычислить частные производные функций u(x,y) и v(x,y) и решить систему уравнений для определения значений x и y, при которых выполняются условия Коши–Римана, т.е. функция f(z)=u+i·v дифференцируема.

Подчеркнем, что компьютер вычисляет правильно производную f(z) EQ \s\up3() только, если f(z) – аналитическая функция.

Если Вы хотите, чтобы производная f(z) EQ \s\up3() была выражена через z, отмените запомненное z=x+i·y. Для этого нажмите Ctrl+Alt +Enter, чтобы увидеть запомненное и удалите строчку z=x+i·y.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница