Вопросы к экзамену по курсу “Линейная алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел”


Скачать 30.48 Kb.
НазваниеВопросы к экзамену по курсу “Линейная алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел”
Дата02.11.2012
Размер30.48 Kb.
ТипВопросы к экзамену
Вопросы к экзамену по курсу “Линейная алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел”

(ФИТ, 2-й семестр 2003/04 уч. года)


  1. Алгебра многочленов: определение и свойства операций, деление с остатком.




  1. Корни и значения многочленов: теорема Безу, число корней и степень, формулы Виета, интерполяционная формула Лагранжа.




  1. Кратные корни и производная, формула Тейлора для многочлена.




  1. Корни комплексных многочленов, разложение комплексных и вещественных многочленов на множители.




  1. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида, критерий разрешимости уравнения fu+gv=h в алгебре многочленов.




  1. Взаимно простые многочлены и однозначность разложения на множители в алгебре многочленов.




  1. Линейные отображения векторных пространств: задание образом базиса и матрицей, координаты образа вектора и связь между матрицами отображения в разных базисах.




  1. Алгебра линейных операторов и алгебра матриц.




  1. Образ и ядро линейного отображения, невырожденные линейные операторы.




  1. Инвариантные подпространства.




  1. Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен линейного оператора.




  1. Диагонализируемые операторы --- равносильные определения.




  1. Нильпотентные операторы: определение и примеры, основная теорема, спектр и следствие для матриц.




  1. Корневые векторы, корневые подпространства, ядерно-образное и корневое разложение пространства относительно линейного оператора.




  1. Матрицы жорданова вида и теорема Жордана, критерий подобия для матриц.




  1. Вычисление многочленов от матриц, функций от матриц и рядов от матриц.




  1. Евклидовы и эрмитовы пространства: аксиоматика, примеры, длина вектора и угол между векторами --- неравенство Коши--Буняковского, неравенство треугольника,тождество параллелограмма, теорема Пифагора.




  1. Процесс ортогонализации Грама--Шмидта и изоморфизмы евклидовых (эрмитовых) пространств.




  1. Ортогональные разложения евклидовых (эрмитовых) пространств, евклидова метрика и расстояние от точки до подпространства.




  1. Определитель Грама и линейная зависимость системы векторов евклидова (эрмитова) пространства, определитель Грамма и объем параллелепипеда, построенного по системе векторов, следствия, определитель и объем для n векторов в n-мерном пространстве.




  1. Сопряженность линейных отображений евклидовых (эрмитовых) пространств относительно скалярного произведения: определение, существование и единственность, связь матриц.




  1. Самосопряженные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.




  1. Ортогональные и унитарные операторы: равносильные определения, спектр и геометрическое описание, следствие для матриц.




  1. Сингулярные числа, сингулярное и полярное разложение.




  1. Сингулярные числа и норма отображения.




  1. Билинейные формы: определение, их матрицы и связь между матрицами в разных базисах, инварианты, вырожденность, разложение в сумму симметричной и кососимметричной части, квадратичные формы и их матрицы.




  1. Приведение квадратичной формы методом Лагранжа к каноническому виду над полем характеристики, не равной двум.




  1. Вещественные квадратичные формы: инвариантность сигнатуры, теорема Якоби, критерий Сильвестра положительной определенности формы.




  1. Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям.




  1. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей декартовой системе координат (косоугольной).




  1. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей прямоугольной декартовой системе координат (центральный случай).




  1. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду в подходящей декартовой системе координат (нецентральный случай).

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница