Лекция №12 Топологические векторные пространства


Скачать 172.11 Kb.
НазваниеЛекция №12 Топологические векторные пространства
страница1/4
Дата30.10.2012
Размер172.11 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3   4
Лекция № 12


Топологические векторные пространства


Задание метрики, нормы, или скалярного произведения – возможные способы введения топологии в линейных пространствах. Такие области функционального анализа, как теория обобщенных функций, или теория распределений (по Л.Шварцу), требует рассматривать линейные пространства с топологией, задаваемой не с помощью нормы, а каким-либо иным способом.

Прежде чем вводить понятия и определения теории топологических векторных (или линейных) пространств, я напомню общие понятия из топологии, которые мы изучали в 1-ом семестре.


Общая топология


Определение 1. Пусть – некоторое множество (пространство–носитель). Топологией в называется любая система подмножеств множества , удовлетворяющая двум требованиям:

  1. Само множество и пустое множество принадлежат ;

  2. Объединение любого (конечного или бесконечного) и пересечение любого конечного числа множеств из принадлежат .

Множество с заданной в нем топологией называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие системе , называются открытыми. Множества , дополнительные открытым, называются замкнутыми.

В силу соотношений двойственности (теория множеств) и аксиом (1) и (2) определения топологии в , вытекает, что:

  1. Пустое множество и всё замкнуты;

  2. Пересечение любого (конечного или бесконечного) и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуты.

На основе этих определений естественным образом во всяком топологическом пространстве вводятся понятия окрестности, точки прикосновения, предельной точки, замыкания множества и т.д.

Определение 2. Окрестностью точки называется всякое открытое множество (т.е. ), содержащее точку : .

Определение 3. Точка называется точкой прикосновения множества , если любая окрестность точки содержит хотя бы одну точку из .

Определение 4. Точка называется предельной точкой множества , если любая окрестность точки содержит хотя бы одну точку из , отличную от .

Определение 5. Совокупность всех точек прикосновения множества называется замыканием множества и обозначается символом или .

Легко показать, что замкнутые множества (определенные выше как дополнения к открытым!), и только они, удовлетворяют условиям . Множество есть наименьшее замкнутое множество, содержащее множество .

Теорема 1. Пересечение произвольного множества топологий в есть топология в . Эта топология слабее любой из топологий .

Доказательство. Ясно, что содержит и . Далее, из того, что каждое замкнуто относительно взятия любых объединений и конечных пересечений, следует, что этим свойством обладает и . Наконец, очевидно, что , т.е. она слабее любого . Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть – некоторый произвольный запас подмножеств множества ; тогда существует минимальная топология в , содержащая .

Действительно, топологии, содержащие , существуют; например, та, в которой все множества открыты. Пересечение всех топологий, содержащих , и есть искомая. Эта минимальная топология называется топологией, порожденной системой множеств , и обозначается через .

Определение 6. Совокупность открытых множеств (т.е. из системы ) называется базой топологии (или базой топологического пространства ), если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа (конечного или бесконечного) множеств из .

Теорема 2. Для того, чтобы система подмножеств множества была базой некоторой топологии в , необходимо и достаточно, чтобы обладало свойствами:

  1. любая точка содержится хотя бы в одном ,

  2. если содержится в пересечении двух множеств и из , то существует , что .

Необходимость. Пусть система множеств есть база в топологическом пространстве . Свойство (1) просто означает, что всё , будучи открытым, должно представляться как объединение каких-то множеств из . Свойство (2) вытекает из того, что открыто и, следовательно, есть объединение каких-то элементов базы .

Достаточность. Пусть – произвольное множество и – система подмножеств в , обладающая свойствами (1) и (2). Тогда совокупность множеств, представимых в виде объединений множеств из , образует в топологию, в чем нетрудно убедиться, проверив выполнимость двух аксиом топологии. Теорема доказана.

В только что доказанной теореме 2 утверждается, что некоторая система подмножеств множества могла быть базой некоторой топологии в , необходимо и достаточно, чтобы обладала свойствами (1) и (2) теоремы 2.

Но если в задана некоторая фиксированная топология , то взяв некоторую систему открытых (т.е. ) множеств, обладающую свойствами (1) и (2) теоремы 2, и приняв ее за базу, мы, очевидно, получим в топологию , или совпадающую с исходной топологией , или более слабую.

Установим условия, при которых система открытых множеств из топологии порождает именно данную топологию .

Теорема 3. Для того чтобы система была базой данной топологии , необходимо и достаточно следующее условие:

  1. Для каждого открытого множества и каждой точки существует такое , что .

Доказательство. Если условие (3) выполнено, то всякое открытое множество представимо в виде

,

т.е. есть база топологии . Обратно, если есть база топологии , то всякое представимо в виде объединения множеств из , и тогда для всякого найдется , что . Теорема доказана.

Нам еще понадобится понятие непрерывности отображений топологических пространств.

Определение 7. Пусть и – два топологических пространства. Отображение



топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдется окрестность точки , что

.

Отображение называется непрерывным (всюду в !), если оно непрерывно в каждой точке .

Данное определение непрерывности носит «локальный» характер, т.е. непрерывность отображения на всем определяется через непрерывность в каждой точке . Однако, справедлива

  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница