Лекция №6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной


Скачать 68.25 Kb.
НазваниеЛекция №6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Дата29.10.2012
Размер68.25 Kb.
ТипЛекция

Лекция №6

Дифференциальное исчисление функции одной переменной


План

1. Непрерывность функции

2. Понятие производной

3. Таблица основных формул дифференцирования

4. Правила дифференцирования

5. Дифференциал

6. Производные высших порядков

1. Непрерывность функции

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что ее графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая переменная приближается к точке , то значение функции неограниченно приближается к значению функции в точке (рис. 6.1).

Дадим строгое определение непрерывности функции.

Определение 6.1. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ; 2) существует предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.

Ч
асто приходится рассматривать непрерывность функции в точке справа и слева. Пусть функция определена в точке . Если , то говорят, что функция непрерывна в точке справа. Если , то функция непрерывна в точке слева.

Введем теперь понятие точки разрыва.

Определение 6.2. Точка называется точкой разрыва функции , если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при функция разрывная. Это может произойти, если в точке функция не определена, или не существует предел функции при , или, наконец, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке : .

Точки разрыва бывают двух типов.

Определение 6.3. Точка разрыва функции называется точкой разрыва I рода, если существуют оба односторонних предела и .

Определение 6.4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из двух пределов или стремится к бесконечности.

Пример 6.1. Рассмотрим функцию:

(6.1)

Даная функция имеет в точке разрыв первого рода, поскольку для нее существуют пределы при и справа и слева:

(6.2)

(6.3)

Пример 6.2. Рассмотрим следующую функцию:

(6.4)

Данная функция имеет в точке разрыв второго рода, поскольку для нее не существуют конечные пределы при ни слева, ни справа:

(6.5)

(6.6)

На рис. 6.2 представлены графики двух функций, которые были рассмотрены в примерах 6.1 и 6.2 .

2. Понятие производной

Пусть дана функция . Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное и новое . Разность называется приращением аргумента в точке (кратко – приращением аргумента) и обозначается символом .

При этом если изменяется аргумент, то и функция получит некоторое приращение в точке : . Приращение функции в точке кратко обозначается . На рис. 4.3 показаны величины и .

Таким образом, можно записать:

(6.7)

(6.8)

или:

(6.9)

(6.10)

Подставляя в формулу (6.8) выражение (6.9), получим:

(6.11)

Составим отношение:

(6.12)

Определение 6.5. Производной функции называется предел отношения ее приращения к соответствующему приращению независимой переменной, когда :

(6.13)

Для одной и той же функции производную можно вычислить в различных точках .

Наряду с обозначением для производной функции употребляются и другие обозначения: , .

Нахождение производной называется дифференцированием.

Функция , имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно.

Пример 6.3. Используя определение, вычислим производную функции .

=

=

Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной в этой точке:

(6.14)

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени , т.е.:

(6.15)

3. Таблица основных формул дифференцирования

Не обязательно находить производную, используя определение. Иногда этот процесс бывает слишком трудоёмким, а иногда практически неосуществимым.

При помощи основных формул и правил дифференцирования можно найти производную практически любой функции, которую можно представить как комбинация элементарных функций и действий над ними.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

4. Правила дифференцирования

1. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

(6.16)

Пример 6.4. Найти производную функции



2. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:

(6.17)

Пример 6.5. Найти производную функции



3. Если функция дифференцируема в данной точке , то в той же точке дифференцируема и функция представляющая собой произведение функции на константу . При этом данную константу можно вынести за знак производной:

(6.18)

Пример 6.6. Найти производную функции



4. Если в данной точке функции и дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное , причем:

(6.19)

Пример 6.7. Найти производную функции



5. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в данной точке имеет производную , которая находится по следующей формуле:

(6.20)

Пример 6.8. Найти производную функции



5. Дифференциал

Приращение функции в точке можно представить в следующем виде:

, (6.21)

где – приращение аргумента, вызвавшее приращение функции ; – постоянная (т.е. величина, не зависящая от ); – бесконечно малая функция высшего порядка малости, чем , т.е. .

Определение 6.6. Если приращение функции в точке может быть представлена по формуле (6.21), то главная часть приращения функции , пропорциональная приращению аргумента, называется дифференциалом этой функции.

Дифференциал функции обозначается символом . Итак, по определению:

(6.22)

,

6. Производные высших порядков

Значения производной зависят от , т.е. производная представляет собой тоже функцию от . Дифференцируя эту функцию, мы получим вторую производную. Обозначается вторая производная следующим образом: . Аналогично получаются и производные третьего порядка и т.д.

В общем виде производная го порядка от функции называется производная (первого порядка) от производной го порядка и обозначаются символом . Записывается это следующим образом:

(6.23)




Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница