Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «теория групп»


НазваниеУчебно-методический комплекс учебной дисциплины «теория групп»
страница1/5
Чечин Г М
Дата26.10.2012
Размер0.56 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс
  1   2   3   4   5
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


федеральное государственное образовательное

учреждение Высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»


Физический факультет



Рассмотрено и одобрено

на заседании кафедры «Теоретической и вычислительной физики»

Протокол №______

«____» _______________2009 г.

Зав. кафедрой _______________




УТВЕРЖДАЮ

Декан факультета

_________________________

____________________

«_____» ____________ 2009 г.



УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

учебной дисциплины «ТЕОРИЯ ГРУПП»

цикла ДС по специальности

010700 Физика


Составитель

кандидат физ.-мат. наук,

Чечин Г.М.


Ростов-на-Дону

2009


1. Пояснительная записка к курсу


1.1. Цели изучения дисциплины

Курс теории групп и её применений в физике является спецкурсом поддерживающим специализации кафедры по теоретической физике и информационным технологиям в образовании и науке в рамках специальности 010700 физика и направления 510700 физика по программе теоретическая физика.

Целью курса является знакомство студентов с современным аппаратом теоретической физики путем изучения основных положений теории групп и способов применения теоретико-групповых представлений в различных областях физики. Изучение курса позволит студентам самостоятельно или с помощью научного руководителя использовать теоретико-групповые методы для исследования конкретных вопросов в физике твердого тела и физике элементарных частиц.


1.2. Задачи изучения дисциплины


В результате изучения курса студенты должны:

  • иметь представление и понимать основы теории конечных групп и групп Ли;

  • иметь представление о методах применения теории групп для установления законов сохранения, классификации состояний, установления правил отбора, нахождения групповых инвариантов.


1.3. Место дисциплины в образовательной программе специальности

Для изучения курса требуется предварительное освоение студентами следующих дисциплин:

  • Теоретической механики

  • Атомной физики

  • Квантовой механики

  • Математического анализа

  • Высшей алгебры


Поэтому в рабочем учебном плане курс теории групп располагается в 7-м семестре и заканчивается экзаменом.


2. Учебно-тематический план дисциплины



Наименование модулей и тем

Всего часов по учеб. плану

Виды учебных занятий

Аудиторные занятия

Сам. работа

Лекции

Прак. занятия

1

2

3

4

5

6

Модуль 1. Абстрактные группы и группы симметрии

Тема 1. Теория групп и физика.

1

1







Тема 2. Элементы абстрактной теории групп

9

6




3

Тема 3. Точечные группы симметрии

6

4




2

Тема 4. Пространственные группы симметрии

4

2




2

Модуль 2. Матричные представления групп симметрии

Тема 5. Приводимые и неприводимые представления конечных групп

5

2




3

Тема 6. Леммы Шура и свойства ортогональности неприводимых представлений

4

2




2

Тема 7. Теория характеров представлений конечных групп

4

2




2

Тема 8. Индуцирование представлений группы из представлений ее подгруппы

2

1




1

Тема 9.Понятие о неприводимых представлениях пространственных групп

2

1




1

Тема 10. Построение базисных векторов неприводимых водимых представлений

4

2




2

Тема 11. Теорема Вигнера

3

2




1

Тема 12. Теория групп и

квантово-механическая. Теория возмущений

2

1




1

Модуль 3. Непрерывные группы симметрии и их неприводимые представления

Тема 13. Правила отбора

и их нахождение методами теории групп

2

1




1

Тема 14. Определение группы Ли. Примеры групп Ли.

3

2




1

Тема 15. Инфинитезимальный оператор и теорема Ли о восстановлении группы Ли по ее оператору

2

1




1

Тема 16. Алгебры Ли и примеры их построения

4

2




2

Тема 17. Группа R_2 и ее неприводимые представления

2

1




1

Тема 18. Группа R_3 и ее неприводимые представления

3

2




1




ИТОГО:

63

36




27



3. Содержание курса


Модуль 1.

Абстрактные группы и группы симметрии


Комплексная цель: После изучения модуля студент должен: знать 1) основные понятия абстрактной теории групп - группа, подгруппа, класс сопряженных элементов ,класс смежности, теорема Лагранжа о порядке подгруппы, инвариантная подгруппа, фактор-группа, генераторы и определяющие соотношения группы, изоморфизм и гомоморфизм групп, абелевы и неабелевы группы; 2)основные понятия точечных и пространственных групп симметрии – преобразования симметрии, элементы точечных групп симметрии (повороты, отражения, зеркальные повороты), элементы пространственных групп симметрии (трансляции, винтовые оси и плоскости скольжения), решетки Браве, кристаллические классы, сингонии, решетки с базисом, правильные системы точек, примитивная и элементарная ячейки, ячейка Вигнера-Зейтца, симморфные и несимморфные группы, теорема Блоха, обратная решетка и зона Бриллюэна иметь представление о всех 32 кристаллических классах, 7 сингониях, 14 решетках Браве, о классификации 230 пространственных групп по кристаллическим классами решеткам Браве; уметь находить для группы, заданной таблицей группового умножения, ее классы сопряженных элементов, подгруппы, смежные классы по заданной подгруппе, выделять инвариантные подгруппы и строить по ним фактор-группы ,находить генераторы группы и определяющие соотношения, определять различные характеристики точечных и пространственных групп симметрии по справочнику Ковалева [4].


Содержание модуля 1


Тема 1. Теория групп и физика.

Эта тема является вводной и предполагает некоторый обзор на качественном уровне значения и возможности использования аппарата теории групп в различных областях физики – от физики молекул и кристаллов до физики элементарных частиц.

Тема 2. Элементы абстрактной теории групп.

Определение абстрактной группы, задание группы с помощью таблицы группового умножения, а также с помощью генераторов и определяющих соотношений, подгруппа, сопряженные элементы, классы сопряженных элементов, левые и правые классы смежности по заданной подгруппе, теорема Лагранжа о порядке подгруппы, инвариантная подгруппа, фактор-группа, изоморфизм и гомоморфизм групп. Перечисленные математические понятия иллюстрируются на примере точечной группы C4v, заданной своей таблицей группового умножения.

Тема 3. Точечные группы симметрии.

Преобразования пространственной симметрии. Повороты, зеркальные отражения и зеркальные повороты. Возможные сочетания этих элементов в точечных группах симметрии. Кристаллические классы. Понятие о макро- и микросимметрии.

Тема 4. Пространственные группы симметрии.

Трансляционные элементы симметрии и решетки Браве. Решетки с базисом. Примитивная и элементарная ячейки. Ячейка Вигнера-Зейтца. Собственные и несобственные трансляции. Винтовые оси и плоскости скольжения. Сингонии. Пространственные группы. Симморфные и несимморфные пространственные группы. Возможные сочетания элементов симметрии в пространственных группах. Обратная решетка. Теорема Блоха. Зона Бриллюэна. Знакомство со справочником Ковалева [4] по пространственным группам и их неприводимым представлениям.


Проектное задание


1. Для заданной точечной группы симметрии, построить таблицу ее группового умножения. С помощью этой таблицы разложить эту группу на классы сопряженных элементов.

2. Найти все подгруппы абстрактной группы, построенной в предыдущем проектном задании. Выделить среди них инвариантные подгруппы и найти соответствующие им фактор-группы. Разложить группу на смежные классы по одной из ее подгрупп.

3. Построить все неизоморфные друг другу абстрактные группы шестого порядка (Напоминание: абстрактная группа определяется своей таблицей группового умножения).

Тест рубежного контроля

1. Какие из перечисленных множеств образуют группу:

а) множество нечетных целых чисел относительно операции умножения;

б) множество четных чисел относительно операции сложения;

в) множество корней степени N из единицы относительно операции сложения?

2. Если в класс сопряженных элементов входит более одного элемента, то он

а) является подгруппой группы

б) может быть подгруппой группы

в) никогда не может быть подгруппой группы

3. Подгруппы группы

а) всегда пересекаются друг с другом

б) никогда не могут пересекаться

в) в некоторых случаях могут, а в некоторых не могут пересекаться

4. Число элементов в разных классах сопряженных элементов данной группы

а) может быть разным

б) может быть только одинаковым

в) всегда равно индексам инвариантных подгрупп данной группы

5. Данная подгруппа может быть образована

а) некоторыми элементами из разных классов сопряженных элементов

б) элементами разных классов смежности

в) она всегда является объединением нескольких классов сопряженных элементов

6. Классы смежности могут

а) пересекаться друг с другом

б) пересекаться с некоторыми классами сопряженных элементов

в) не могут пересекаться ни с одним из классов сопряженных элементов

7. Число классов сопряженных элементов

а) всегда равно порядку группы

б) является делителем порядка группы

в) может быть равно порядку группы

8. В абелевой группе

а) только некоторые элементы коммутируют друг с другом

б) все элементы коммутируют друг с другом

в) число классов сопряженных элементов меньше порядка группы

9. Теорема Лагранжа заключается в том, что

а) порядок классов сопряженных элементов является делителем порядка группы

б) порядок подгруппы является делителем порядка группы

в) число классов сопряженных элементов не превосходит числа ее подгрупп

10. Порядок фактор-группы

а) равен числу классов сопряженных элементов

б) равен числу смежных классов некоторой инвариантной подгруппы

в) может превышать порядок исходной группы

11. Объем элементарной ячейки гранецентрированной кубической решетки больше объема ее примитивной ячейки

а) в два раза

б) в четыре раза

в) указанные ячейки имеют одинаковый объем

12. Число кристаллических классов кубической сингонии равно

а) 5

б) 3

в) 4

13. Объем ячейки Вигнера-Зейтца для объемоцентрированной кубической решетки

а) совпадает с объемом ее примитивной ячейки

б) совпадает с объемом ее элементарной ячейки

в) вдвое меньше объема элементарной ячейки

14. В симморфных пространственных группах

а) могут быть винтовые оси

б) могут быть плоскости скольжения

в) не может быть ни винтовых осей, ни плоскостей скольжения.

  1   2   3   4   5

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница