Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа мозаика математика


Скачать 146.7 Kb.
НазваниеНаучно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа мозаика математика
Анненкова Юлиана
Дата21.11.2012
Размер146.7 Kb.
ТипИсследовательская работа


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №53» г. Брянска

тел. 524991


НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ

«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКУ»


ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Мозаика

математика


Выполнила:

ученица 11 А класса

Анненкова Юлиана

Руководитель:

учитель математики

Драп Людмила Стальевна


г. Брянск

2012 год

Введение

Мой проект задуман с целью обобщить свойства многоугольников и применить их для создания мозаики. При работе над проектом мне нужно было убедиться, что не из всех многоугольников можно составить мозаику. В моей работе рассмотрены следующие теоритические вопросы: свойства треугольников, свойства четырёхугольников, свойства пятиугольников, виды мозаики, рассмотрена мозаика Эшера. В практической части рассмотрены вопросы: «Какими многоугольниками можно выложить плоскую поверхность, если применить лишь одну форму плиток? Можно ли создать мозаику из разных видов правильных многоугольников? На основе теории мною создан эскиз простейший мозаики. Рассчитаны площади использованных фигур определенного вида для окна размером 2х3 м.

Цели работы:

1.Создать эскиз мозаики из правильных многоугольников.

2.Произвести расчет количества деталей мозаики для окна размером 2х3м, с учетом различных форм деталей.

Задачи работы:

  1. Изучить свойства треугольников.

  2. Изучить свойства четырёхугольников.

  3. Изучить свойства пятиугольников.

  4. Рассмотреть виды мозаики.

  5. Рассмотреть мозаику Эшера.

  6. Создание эскизов мозаики.

  7. Расчет площади использованных фигур отдельного вида для окна размером 2х3 м.



Методы работы над проектом:

анализ источников информации, систематизирование информации, выполнение практической части, составление таблицы, схемы и эскиза.

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» – это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними.

Треугольники

«Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)

3. Сумма углов треугольника равна 180 ° . (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).

4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b )». [1]

Пятиугольники

«Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.

Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°.



Если провести в пентагоне диагонали, то он разобъётся на: меньший пентагон и больший. Вокруг меньшего пентагона — пять равнобедренных треугольников двух видов (с отношением бедра к основанию равным золотой пропорции):

1. имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании;

2 .имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании

При соединении двух первых и двух вторых треугольников их основаниями, то получится два «золотых» ромба (первый имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°)».[2]

Четырёхугольники

«Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Свойства: 1.Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.

2.Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° . См. также теорема Птолемея.

3.Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

4.Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

5.Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.

6.Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей». [3]

Виды мозаик

«Мозаика имеет множество видов рис №1(см. Приложение).Мозаику можно выполнить из самых разных материалов. Она может быть разной по тематике. Но во всех случаях она должна быть связана с формами архитектуры или предметами быта, т.е. служить украшением помещения (стен, потолка, пола, дверей) или предметов, входящих в обстановку (мебели, шкатулок, письменных принадлежностей ид.). Также из многообразия мозаичных композиций можно выделить две разновидности: орнаментальную и сюжетную. Основу орнаментальной мозаики составляет симметричный узор. Орнамент начинают «выстраивать» из центра и дальше строят в произвольном порядке. При этом главными условиями является замощение плоскости фигурами без просветов и соблюдение симметрии». [4]

Математические мозаики М.К.Эшера

«Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» – это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик – регулярными и нерегулярными – а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами» рис.№2(см. Приложение), где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

В гравюре «Рептилии» рис.№3(см. Приложение) маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В «Эволюции» можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц». [5]

Практическая часть №1


Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета:

    1. С помощью одноимённых правильных многоугольников.

    2. С помощью правильных многоугольников двух различных форм.

    3. С помощью правильных многоугольников трех различных форм.

Этап I


Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда

( n – 2 ) · 1800 – сумма всех внутренних углов многоугольника и




- каждый угол правильного многоугольника.

Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой – то точки определенное число одинаковых правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 3600.

Для одноименных правильных многоугольников наименьшее число n может равняться 3. 1) Если n = 3, то

значит это возможно сделать правильными треугольниками и их число равно

3600 : 600 = 6 .

2) Если n = 4, то ,

значит это возможно сделать правильными четырехугольниками и их число равно 3600 : 900 = 4

3)Если n = 6, то

значит это возможно сделать правильными шестиугольниками и их число равно

3600 : 1200 = 3

Примечание: если n = 5 и n > 6 значение дроби больше 1200 и правильных многоугольников не существует.

Вывод первый:


Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, следующими одноимёнными правильными многоугольниками:

- шестью правильными треугольниками;

- четырьмя квадратами;

- тремя правильными шестиугольникам.

Этап II


1) Обозначим n – количество треугольников, m – количество квадратов, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 600n+900m=3600.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если n = 1, то 900m = 3600- 600·1; 900m = 3000; m =.

При n = 1, задача решений не имеет.

б) Если n = 2, то 900m = 3600- 600·2;900m = 2400; m =.

При n = 2, задача решений не имеет.

в) Если n = 3, то 900m = 3600 - 600·3; 900m = 1800; m =2.

При n = 3, m = 2 задача имеет решение.

г) Если n = 4, то 900m = 3600- 600·4; 900m = 120; m =.

При n = 4, задача решений не имеет.

д) Если n = 5, то 900m = 3600- 600·5; 900m = 600; m =

При n = 5, задача решений не имеет.

Примечание: при n больше пяти, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.

2) Обозначим n – количество треугольников, m – количество шестиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 600n+1200m=3600.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если n = 1, то 1200m = 3600- 600·1; 1200m = 3000; m =.

При n = 1, задача решений не имеет.

б) Если n = 2, то 1200m = 3600- 600·2; 1200m = 2400; m =2.

При n = 2, m = 2 задача имеет решение.

в) Если n = 3, то 1200m = 3600- 600·3; 1200m = 1800; m =.

При n = 3, задача решений не имеет.

г) Если n = 4, то 1200m = 3600- 600·4; 1200m = 1200; m =.

При n = 4, m = 1 задача имеет решение.

д) Если n = 5, то 1200m = 3600- 600·5; 1200m = 600; m =

При n = 5, задача решений не имеет.

Примечание: при n, больше пяти, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.

3)Обозначим n – количество квадратов, m – количество восьмиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 900n+1350m=3600.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если n = 1, то 1350m = 3600- 900·1; 1350m =2700; m =.

При n = 1, m = 2 задача имеет решение.

б) Если n = 2, то 1350m = 3600- 900·2; 1350m = 1800; m =.

При n = 2, задача решений не имеет.

в) Если n = 3, то 1350m = 3600- 900·3; 1350m = 900; m =.

При n = 3, задача решений не имеет.

г) Если n = 4, то 1350m = 3600-900·4; 1350m =00; m =.

При n = 4, задача решений не имеет.

Примечание: при n, больше четырёх, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.

4) Обозначим n – количество треугольников, m – количество двенадцатиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 600n+1500m=3600.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если n = 1, то 1500m = 3600- 600·1; 1500m =3000; m =

При n = 1, m = 2 задача имеет решение

б) Если n = 2, то 1500m = 3600 - 600·2; 1500m = 2400; m =.

При n = 2, задача решений не имеет.

в) Если n = 3, то 1500m = 3600- 600·3; 1500m = 1800; m =.

При n = 3, задача решений не имеет.

Примечание: при n, больше трех, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.

Вывод второй:


Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, следующими правильными многоугольниками двух различных форм:

- тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками

- четырьмя треугольниками и одним шестиугольником

- двумя треугольниками и двумя шестиугольниками

- одним четырёхугольником и двумя восьмиугольниками

- одним треугольником и двумя двенадцатииугольниками.


Этап III

1) Обозначим n – количество треугольников, m – количество четырёхугольников, k - количество шестиугольников,

тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство

600n+900m+1200 k =3600.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если n = 1, m =1, то 1200 k = 3600- 600·1-900·1; 1200m = 2100; m =.

При n = 1, m =1, задача решений не имеет.

б) Если n = 1, m =2, то 1200 k = 3600- 600·1- 900·2; 1200 k = 1200; k =1

При n = 1, m = 2, k =1, задача имеет решение

в) Если n = 2, m =1, то 1200 k = 3600- 600·2- 900·1; 1200m = 1500; m =.

При n = 2, m =1, задача решений не имеет.

Примечание: при n, больше трех, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.

2) Обозначим n – количество треугольников, m – количество квадратов,

k-количество двенадцатиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 600n+900m+1500 k =3600.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если n = 1, m =1, то 1500 k = 3600 - 600·1-900·1; 1500m = 2100; m =.

При n = 1, m =1, задача решений не имеет.

б) Если n = 2, m =1, то 1500k = 3600- 600·2-900·1; 1500 k = 1500; k =1.

При n = 2, m = 1, k =1, задача имеет решение

Примечание: при n, больше трех, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.

3) Обозначим n – количество четырёхугольников, m – количество шестиугольников, k - количество двенадцатиугольников,

тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство

900n+1200m+1500 k =3600.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если n = 1, m =1, то 1500k = 3600- 900·1- 1200·1; 1500m = 1500; m =1

При n = 1, m =1, k =1, задача имеет решение

Примечание: при n, больше двух, задача решений не имеет, так как сумма получается больше 3600.

Вывод третий:


Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, следующими правильными многоугольниками трех различных форм:

- одним треугольником, двумя четырёхугольниками и одним шестиугольником.

- двумя треугольниками, одним четырёхугольником и одним двенадцатиугольником.

- одним четырёхугольником, одним шестиугольником и одним двенадцатиугольником.

Заполнение плоскости может быть произведено не только многоугольниками, но и фигурами более сложного вида.

Это занятие меня очень увлекло. Процесс создания таких мозаик упрощается, если использовать компьютер, например, графический редактор Paint. В среде графического редактора удобно создавать элементы мозаики, изменять их, копировать, что очень важно! Сначала я создала меню мозаичных элементов, а потом использовала их для создания новых композиций. В меню вошли фигуры, из которых я уже научилась строить мозаику рис.№5-9 (см. Приложение)

Практическая часть 2.

Витраж является одним из разновидностей мозаики. Многие люди используют витражи из кусочков стекла на окнах для украшения свои домов. Мне стало интересно, сколько понадобится таких кусочков, чтобы создать витраж на окне размером 2х3 м?

Я взяла простой рисунок, состоящий из треугольников, прямоугольников и квадратов, из которых сложен корабль в море. Я делала эскиз витража для половины окна, так как предполагалось, что будут два корабля на каждой ставне рис№4(см. Приложение).

Площадь окна рассчитывается по формуле: S=a*b, так как окно имеет вид прямоугольника.

Sокн= 2*3=6 м2

Площадь каждой ставни Sс=1,5*2=3 м2.

Для создания эскиза мне понадобилось 300 квадратов некоторые из которых были разрезаны на треугольники и прямоугольники дня сознания более красивого рисунка.

Для того чтобы рассчитать площадь каждого квадрата я использовала формулу Sкв = Sс /N, где Sc – площадь ставни и N – количество квадратов.

Sкв =3/300=0,01м2 или 100м2.

Так как площадь квадрата находится по формуле S=а 2 , то каждый квадрат должен быть 10 х10 см.

Площади прямоугольников и треугольников по моему эскизу будут равны половине площади квадрата, т.е. 50см2 .

Заключение

С мозаикой мы часто встречаемся в повседневной жизни. У любого ребенка среди игрушек есть мозаика, из которой можно получить разнообразные узоры и изображения. Мозаика способствует развитию ребенка, и мозаичные построения – это первые попытки детей моделировать окружающий мир согласно своим представлениям. Но мозаика – не только детская игрушка. Мозаичные узоры можно выполнять для украшения ванных комнат, одежды, предметов домашнего обихода и т.д. Мозаика встречается и на улицах нашего города.

Благодаря работе над проектом я получила много теоретических знаний по данной теме. Создала эскиз мозаики, рассчитала площади использованных фигур отдельного вида для окна размером 2х3 м. Из Практической части №1 я сделала следующие выводы:

1.Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, правильными многоугольниками: шестью правильными треугольниками, четырьмя квадратами, тремя правильными шестиугольникам.

2.Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, следующими правильными многоугольниками двух различных форм: тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками, четырьмя треугольниками и одним шестиугольником, двумя треугольниками и двумя шестиугольниками, одним четырёхугольником и двумя восьмиугольниками, одним треугольником и двумя двенадцатиугольниками.

3. Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета, следующими правильными многоугольниками трех различных форм: одним треугольником, двумя четырёхугольниками и одним шестиугольником; двумя треугольниками, одним четырёхугольником и одним двенадцатиугольником; одним четырёхугольником, одним шестиугольником и одним двенадцатиугольником.

Работа над проектом дала мне множество практических навыков при работе с информацией и ее оформлением, без которых невозможно жить в нашем веке технологий

Список литературы:

  1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник

  2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Пятиугольник

  3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Четырехугольник

  4. http://studio.lifehouse.ru/studio-articles/84-mozaika-vidy-osobennosti-sposoby-ukladki

  5. http://rusmosaic.wordpress.com/2007/10/17/matematicheskie-mozaiki-mkeshera/



Приложение

Рис.№1 Виды мозаик


мозаик


Рис.№2 Регулярное разбиение плоскости птицами

Рис.№3 Рептилии





Рис.№4 Эскиз мозаики




Рис.№5 Рис.№6




Рис.№7 Рис.№8




Рис.№9


Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница