Мировоззренческая и методологическая направленность преподавания математики


Скачать 274.24 Kb.
НазваниеМировоззренческая и методологическая направленность преподавания математики
страница1/3
Дата27.10.2012
Размер274.24 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКАЯ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ


А.Е. Амельченко, Г.Г. Швачич, Г.Г. Шестопалов

г. Днепропетровск, Национальная металлургическая академия Украины

sggkpm.dp.ua


Изучение общенаучных дисциплин, в частности математики, представляет богатые возможности для формирования диалектико-материалистического мировоззрения у будущих инженеров. Это обусловливается следующими причинами.

Во-первых, роль математики в познании закономерностей различных явлений все более возрастает; интенсивный процесс математизации знания, привлечение математического аппарата к исследованиям в естественных, гуманитарных и общественных науках предопределяют необходимость разработки мировоззренческого аспекта преподавания этой дисциплины.

Во-вторых, развитие математики, одной из древнейших наук, оказывало и оказывает существенное влияние на философское осмысление мира, ибо порожденные развитием математики проблемы природы математического познания, такие, как характер ее абстракций и идеализаций, сущность математической бесконечности, интерпретация понятий вероятности, истинности и строгости доказательств, роль логики и интуиции в математическом исследовании, – стимулировали углубление философских представлений о мире, человеке, закономерностях познания действительности.

Математический метод и стиль мышления, как свидетельствует история науки, нередко становился каноном организации научного знания и даже способом решения философско-мировоззренческих проблем (пифагорейцы, Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц). Это свидетельствует о большом мировоззренческом потенциале математики. Однако решение общенаучных проблем, возникающих в ходе развития математики, требует выхода за ее рамки и обращения к философии, к теоретическим принципам определенного мировоззрения.

То или иное решение этих проблем с позиций определенных философско-мировоззренческих принципов выступает действенным фактором исторического развития математики, поскольку они определяют понимание оснований математики – тех исходных понятий, принципов и методов, которые на каждом историческом этапе развития служили ее теоретическим фундаментом. Этот теоретический фундамент включал определенное понимание предмета математической науки, сущность ее абстрактных объектов, логико-методологических принципов построения математической теории [9, с. 31].

Принятие тех или иных философско-мировоззренческих принципов существенно влияет на трактовку природы математики, на разработку различных программ ее обоснования. Воздействие двух основных направлений философской мысли – материализма и идеализма – на развитие математики существенно различно. Материалистическое мировоззрение ориентирует математику на поиск объективной истины и связь с практикой, идеализм же постоянно стремился направить математическую деятельность в русло предельно абстрактных, умозрительных манипуляций с числами и геометрическими фигурами.

В применении к математическому познанию основной вопрос философии конкретизируется в проблему отношения математического знания к действительности. Поэтому принципом выделения философских проблем математики можно считать вопрос об отношении математического знания к объективному миру. Сюда относятся и необходимые для его развернутого решения вопросы сущности математических абстракций (абстрактных объектов математики), предмета математики, ее метода и др.

Математика – область человеческого знания, изучающая математические модели, отражающие объективные свойства и связи. “Замечательно, – пишет В.А. Успенский, – что хотя математическая модель создается человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реальности” [10, с. 6]. Кроме того, математика дает удобные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет роль языка науки. Наконец, математика дает людям методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.

Прелагая весьма общие и достаточно четкие модели для изучения окружающей действительности, математики неизменно ставят вопрос об отношении этих моделей к объективному миру. Эта мировоззренческая проблема подлежит первоочередному обсуждению при изучении вузовского курса математики, поскольку абстрактный характер математической науки содержит в себе возможность различных идеалистических выводов и обобщений. Так, сторонники логического позитивизма не случайно апеллируют к современной математике, пытаясь доказать, что наши знания не имеют никакого отношения к объективной действительности, к общественной практике. Предмет математики рассматривается в этом направлении философии как формальный аппарат мышления, “словарь”, “синтаксис” для упорядочения наших представлений и понятий.

Отождествление предмета математики с ее формальным аппаратом имеет свои причины в реальной практике научного исследования. Например, ученый-физик, как и представитель любой другой отрасли человеческого знания, пользуется уже готовым математическим аппаратом, существующим до него независимо от эмпирического базиса физической теории. Относительная независимость математического аппарата от эмпирического базиса физической теории и послужила основой представления о математике как собрании априорных принципов. На этой основе возник идеалистический априоризм Р. Декарта, И. Канта и других философов. Аксиоматико-дедуктивный характер построения математических теорий приводил философов к выводу об априорном происхождении человеческого знания.

Преподавание математики должно раскрывать ее земные корни, показывать, что не только истоки этой науки, но и развитие современной математической мысли определяется социальной практикой. Как отмечал академик Л.С. Понтрягин, чрезмерное увлечение абстрактными построениями в преподавании математики без обращения к их истокам в социальной практике и прообразам в жизненном опыте учащихся ведет к ложному пониманию предмета математики, к сведению его к языку, лингвистике, формальному аппарату [8, с. 99-100].

Возникнув как прикладная наука, имея объектом изучения пространственные формы и количественные отношения объективного мира, в ходе своего развития математика принимала все более абстрактную форму, которая затушевывала ее земное происхождение. “Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей... Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразовываться. Чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, – и как раз только поэтому и может вообще применяться” [11, с. 37-38].

Таким образом, математика изучает пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Это определение “отражает содержание математики, ее истоки и историческое развитие, а также место ее в жизни. Оно увязывает математику с познанием окружающего нас мира и выдвигает перед ней генеральную задачу – исследование не произвольно выбранных объектов изучения, а лишь тех из них, которые содействуют решению основной задачи науки – познанию закономерностей природы, общественного развития и мышления” [3, с. 27].

В процессе преподавания математики необходимо постулаты и аксиомы связывать с действительностью, “выводить” из объективного мира, чтобы у студентов формировалось убеждение, что математика – это не игра символов, а наука, описывающая в специфической форме закономерности действительного мира. В этом и состоит главная задача мировоззренческого аспекта преподавания математики. В этом плане дедуктивный метод изложения материала следует сочетать с индуктивным, раскрывая диалектическую взаимосвязь этих методов познания в формировании и развитии математики. “Взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным подходом, логики с воображением – именно они и составляют саму сущность живой математики”, – отмечает Р. Курант [6, с. 16].

“Индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, представляются более благоприятствующими активному усвоению материала учащимися”, – пишет Л.Д. Кудрявцев и делает вывод о том, что на первых этапах обучения нужно отдавать предпочтение индуктивному методу, подготавливая и используя дедуктивный подход [5, с. 98]. Целесообразно подчеркнуть, что такая методика преподавания обеспечивает не только лучшее усвоение математического материала, но и понимание происхождения математических абстракций из объективной действительности, практических потребностей, а значит, она в большей мере реализует мировоззренческую направленность преподавания математики. Выбор методики преподавания математики должен, таким образом, осуществляться и с учетом наиболее полного раскрытия ее мировоззренческого потенциала.

Отдельные, частные на первый взгляд, практические задачи нельзя рассматривать только как приложения математики или как иллюстрацию общих математических выводов. Социальная практика, прежде всего научный эксперимент, представляет собой основу возникновения и развития математических абстракций. Этот вывод подтверждает история развития математической науки. Так, например, М. Фарадей на основе теории электромагнетизма экспериментально открыл ряд явлений и абстрагировал из них ряд качественных законов. Дж. Максвелл на основе этих законов открыл общий количественный закон, связывающий магнитные и электрические силы, а также скорости их изменений системой дифференциальных уравнений. Эти уравнения казались вначале недоступными для практического использования. Но дальнейшее развитие науки показало, что “уход” Максвелла в высокие сферы математической абстракции проложил науке и практике дальнейшие пути развития. На основе уравнений Максвелла была раскрыта природа электромагнитных явлений, что вдохновило Г. Герца на проведение эксперимента по распространению радиоволн и привело, в свою очередь, к созданию новой отрасли техники. Этот пример показывает, что открытия, сделанные учеными на “кончике пера”, имеют под собой реальные практические основания.

Другой метафизической крайностью в понимании предмета математики было и остается представление о математических понятиях как о реально существующих объектах. Идеалистическому истолкованию математических абстракций как особых сущностях, принадлежащих к идеальному миру (обоснованному еще Платоном и ярко проявившемуся у Г. Кантора при интерпретации им понятия множества), противостояла в этом вопросе метафизически-материалистическая тенденция предметного, прежде всего физического истолкования каждого математического символа. Гносеологический корень этих концепций один – непонимание закономерностей формирования и развития математических абстракций.

В течение столетий математики рассматривали числа, геометрические фигуры, уравнения как некие вещи, субстанции. Пытаясь обосновать правомерность введения в математику отрицательных и комплексных чисел, математики искали соответствующее им содержание и на этом пути приходили нередко к парадоксам. Например, когда пытались интерпретировать отрицательные числа с точки зрения понятий об имуществе и долге, то такие соотношения, как (+а),(–b)=–аb; (–a).(–b)=+аb, превращались в бессмыслицу. Действительно, какой смысл может иметь выражение вроде: взять имущество (+а), слагаемое в (–b) раз? Причиной значительных трудностей, связанных с обоснованием и развитием дифференциального исчисления, было также представление о необходимости предметного истолкования дифференциала.

Плодотворной в методологическом и методическом отношениях является идея необходимости различать объект изучения и предмет изучения математики. Объектом математики является тот срез объективного мира, который отражается в математическом познании в форме математических моделей. Предмет же математической теории – это специфические математические модели, на что непосредственно направлена познавательная деятельность математики, то, к чему непосредственно относятся ее понятия, суждения и умозаключения.

Объектом математики выступают количественные отношения и пространственные формы объективного мира. Предмет же математической теории представляет собой идеализацию объекта, абстрагированную от объекта математическую модель.

Предметы разделов математики различны: так, арифметику мы называем наукой о числах и действиях, алгебру – наукой об уравнениях, и т.п., тогда как объект изучения у них один. Каждая математическая теория вычленяет и исследует свой срез количественных отношений и пространственных форм окружающей действительности. Как правило, в истории развития математического познания функцию предмета математики в целом выполняет предмет той математической теории, которая в системе математических знаний занимает фундаментальное, базовое положение. Современная математика стремится синтезировать предметы различных математических теорий и выработать в соответствии с современным состоянием математических исследований представление о предмете математики. Предмет математики исторически изменяется, этапы этого изменения представляют собой ступени проникновения в сущность количественных отношений и пространственных форм объективного мира.

Обосновывая идею о необходимости различать предмет и объект математики, О.И. Кедровский указывает, что эти различия “обусловлены процессом отражения, который формирует предмет. Предмет – абстрагированная сторона объекта, которую стремятся рассматривать обособленно от других сторон. Но эта сторона запечатлевается в сознании субъекта не зеркально, а в обобщенном виде, как идеализированный образ, с включением элементов конструирования, что обусловливает невозможность буквального, абсолютно точного воспроизведения предмета в материальном мире” [4, с. 164]. Различение объекта и предмета математики позволяет связать определения различных математических теорий, их многообразие с диалектико-материалистическим пониманием сущности познания как отражения объективного мира – отражения не зеркального, а сложного и многоступенчатого.

Чтобы математическая модель не смешивалась студентами с реальным явлением, для описания которого она пригодна, необходимо в процессе преподавания разъяснять тот уровень абстракции, на котором следует рассматривать математические понятия. Созданная для описания реального объекта математическая модель может стать и становится предметом изучения в математике. Возникнув из практических потребностей, математика имела и всегда будет иметь своей основной задачей изучение свойств действительного мира.

Однако у математической науки есть и своя внутренняя логика развития, в силу которой ученые создают представления, непосредственно не связанные с окружающей действительностью и не сразу находящие применение в практике. Исходя из конкретных задач практической деятельности, математика строит соответствующую систему понятий (абстрактных объектов), которые в дальнейшем начинают развиваться вследствие не только практических потребностей, но и теоретической необходимости, путем логического мышления, законы которого в конечном счете также абстрагированы из общественной практики (поэтому они и приводят математиков к истинным выводам). В процессе этого внутреннего развития рождаются новые понятия и теории, позволяющие по-новому подойти к решению конкретных практических задач. Отсюда важнейшим условием правильного понимания отношения математики к действительности, характера математических абстракций является объяснение исторических закономерностей развития математической науки. Это необходимо потому, что способ применения и развертывания математической теории прямо противоположен способу развития познания.

Обращение к историческому развитию математических теорий и отдельных понятий приводит к выводу: математическое познание шло от практики, и то, что в истории познания было вторичным (абстракции, простейшие абстрактные определения, выделенные в результате исследования конкретного объекта или процесса), становится первичным при построении теории.

Происхождение исходных математических понятий необходимо объяснять на основе анализа практических потребностей. Однако нельзя забывать, что, раз возникнув, математические абстракции служили основой для последующего абстрагирования, при котором происходило, как правило, и обобщение исходных математических понятий. Для математики больше, чем для других наук, характерна “способность” к образованию абстракций от абстракций. “Для того, чтобы могло возникнуть понятие числа, – поясняет эту мысль С.А. Яновская, – необходимо наличие реальных вещей и их совокупностей (множеств) и действенное(практическое) отношение человека к ним, состоящее в умении комбинировать вещи в множества, различать внутри множества как целого отдельные элементы и приводить эти множества в соответствие друг с другом”. Но, возникнув как обозначения реальных вещей, “числа сами выступают в дальнейшем как стандартные множества вещей, к которым относятся при счете элементы сосчитываемых множеств”, и превращаются “из характеристики некоторых равнозначных друг другу множеств вещей в особые, до всяких вещей и их множеств существующие “вещи” [13, с. 42].

Там, где математическое понятие возникает в результате многоступенчатого абстрагирования, преподаватель должен пояснить, на основе каких исходных понятий оно возникло, и указать те операции, с помощью которых происходило его образование. Наличие многократного абстрагирования в математике наглядно прослеживается при образовании понятий рациональных, действительных и комплексных чисел, математического пространства, n-измерений, оператора и т.п.

Понятие рациональных, действительных и комплексных чисел можно рассматривать как последовательное обобщение числа. Такое обобщение нередко диктовалось теоретической необходимостью. Так, если натуральные числа возникли из необходимости счета, а дробные – измерения, то числа иррациональные, мнимые и комплексные были введены в ходе обобщения понятий натурального и дробного числа. Поэтому практическое применение они нашли значительно позже и не без труда.

Введение в математику пространства, 4, 5,
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница