Построение школьного курса алгебры и начал математического анализа (10-11 класс) на основе приоритетности функционально- графической линии


Скачать 134.09 Kb.
НазваниеПостроение школьного курса алгебры и начал математического анализа (10-11 класс) на основе приоритетности функционально- графической линии
А Г Мордковича
Дата21.04.2013
Размер134.09 Kb.
ТипДокументы
Построение школьного курса алгебры и начал математического анализа (10-11 класс) на основе приоритетности функционально- графической линии.


Учитель математики МБОУ «Бомская СОШ»

Эрхеева Ц.Ж.


Учебные комплекты для изучения курса алгебры и начал анализа в общеобразовательной школе, созданные под руководством А.Г. Мордковича, успешно используются в российских школах, начиная с 2000 года. Это вполне достаточный срок для осмысления и переосмысления содеянного, для внесения необходимых корректив. К этому вынуждают советы и замечания учителей, изменения в собственных методических представлениях и, наконец, три объективные причины.

  • Первая причина – действующий с 2004 года Стандарт математического образования, установки которого, разумеется, должны были быть отражены в этих пособиях (что, впрочем, постоянно они делали в переизданиях).

  • Вторая причина. В 2006-2007 годах произошел глобальный смотр всех школьных учебников, который осуществляли РАО (методический аспект) и РАН (научный аспект). Эти две организации не могли не сделать ряд ценных советов и замечаний по каждому из учебников, с чем, естественно, пришлось считаться авторам. В итоге, начиная с 2008 года большинство школьных учебников предстали перед пользователями в измененных редакциях.

  • Третья причина – уменьшение количества часов в неделю на изучение курса математики в старшей школе на базовом уровне. Значит, и в учебнике, и в задачнике авторы вынуждены были сделать некоторые сокращения.

Единая линия А. Г. Мордковича успешно прошла через процедуру перегрифовки через РАО и РАН; все пособия получили гриф «Рекомендовано». Итак, авторский коллектив под руководством А.Г.Мордковича создал три учебно-методических комплекта для изучения в школе курса алгебры и начал математического анализа. Первый- тот что, действовал в период с 2000 по 2007 год (учебник, задачник, книга для учителя, контрольные работы, самостоятельные работы, тематические тесты и зачёты) и был рассчитан на 3 часа в неделю. Второй – комплект для профильной школы (здесь 10 и 11 классы разделены: два учебника, два задачника, две книги для учителя, два сборника контрольных работ), рассчитанный на 4,5 и даже 6 часов в неделю. Третий-алгебра и начала анализа для 10-11 классов (базовый уровень). На базовом уровне, предусмотренном стандартом, материала изучается больше, а часов отводится меньше, чем было в образовательной школе с 2000 по 2006 год.

Главные особенности опубликованных учебно-методических комплектов по алгебре с 7-го по 11-й класс состоят в том, что они основаны на принципах проблемного, развивающего и опережающего обучения, имеют повествовательный, занимательный стиль. В отличие от других учебных пособий, учебники и задачники изданы отдельными книгами. Задачник представляет собой тщательно выстроенную систему упражнений по степени нарастания сложности, соответствующую каждому параграфу учебника.

Приоритетная содержательно- методологическая линия курса- функционально-графическая. Концепция Мордковича состоит из 2 лозунгов и нескольких принципов.

  1. Школьная математика - не наука, а школьный учебный предмет.

  2. Школьная математика скорее гуманитарный, чем естественно- научный предмет.

При изучении математики как науки надо ввести аксиомы, определения, сформулировать утверждения, которые нужно доказывать. В школе нельзя начинать с аксиом, сложные понятия не должны быть сразу сформулированы. Есть 2 условия, при которых учитель имеет право дать формальное определение сложного математического понятия:

  1. У учащихся накоплен опыт:

  • вербальный - опыт полноценного понимания всех слов, которые есть в определении.

  • генетический - опыт работы с понятием на предыдущих уровнях(визуальном, наглядно- интуитивном, рабочем, описательном.)

  1. У учащихся появилась потребность в формальном определении сложного математического понятия.

О втором лозунге. Гуманитарный с французского значит «культурный». Математика как предмет для формирования общей культуры человека является самым гуманитарным предметом из всего школьного курса. Она изучает математическую модель, модель описывается математическим языком, а этим языком пользуются все.

Концепция УМК А.Г. Мордковича состоит из принципов:

  1. Принцип крупных блоков.

  2. Принцип отсутствия «тупиковых» тем.

  3. Принцип завершенности в пределах учебного года.

  4. Принцип приоритетности функционально- графической линии.

Главное при преподавании по УМК А.Г.Мордковича – функции и их графики, а затем уравнения, формулы и т.д. Идея функционально- графического метода была взята у Канта.

В методике преподавания математики есть три ключевых вопроса: что преподавать, как преподавать, зачем преподавать? Главный из них — последний, но именно он долгое время был у нас не самым актуальным. А для сегодняшних прагматичных российских школьников на первое место выходит вопрос зачем.

Вопрос, зачем что-то изучается в том или ином школьном учебном предмете, соотносится в первую очередь с социальным заказом, который делает общество образованию. Если в недавние годы социальный заказ нацеливал педагогическую общественность на то, что главное в образовании – обучение, передача информации, то сегодня главное в образовании – развитие, формирование общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перерабатывать информацию. Поэтому если раньше учили математике, то сегодня учат и математике, и математикой.

Одной из основных целей математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить школьников составлять математические модели реальных ситуаций, а для этого они должны владеть математическим языком, описывающим указанные модели. Для математического исследования явлений реального мира особенно важны понятия предела и производной, ведь это — основные понятия языка, на котором «говорит природа». Безусловно, выпускник средней школы должен иметь представления о производной, о ее применении для исследования реальных процессов, а вот относительно первообразной и интеграла такой уверенности нет.

Сейчас почти никто не оспаривает тезис о том, что школьная математика не наука, а учебный предмет со всеми вытекающими отсюда последствиями. В учебном предмете не обязательно соблюдать законы науки математики (например, такие: все начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверждения надо доказывать и т.д.), зачастую более важны законы педагогики и особенно психологии. В учебном предмете возможны четыре уровня обоснования тех или иных свойств, утверждений, фактов:

1) принятие на веру (когда, например, ученикам сообщают, что сформулированная теорема доказана в математике, а мы принимаем ее без доказательства, поскольку оно непосильно школьникам);

2) наглядно-интуитивный уровень - замена доказательства геометрическими иллюстрациями или рассуждениями на «пальцах»;

3) правдоподобные рассуждения (например, использование вместо доказательства конкретного примера, в котором фактически раскрывается идея формального доказательства, или вывод, скажем, формулы Ньютона — Лейбница на основе физических представлений);

4) формально строгое доказательство.

В учебных пособиях используется замена строгого доказательства правдоподобными рассуждениями, основанными на физическом или геометрическом смысле производной. С точки зрения автора, это вполне приемлемо, но лишь при условии, что правдоподобные рассуждения не выдаются за доказательства — такая подмена понятий наносит существенный ущерб формированию математической культуры школьника.


Именно второй вариант с указанным дополнительным условием представляется наиболее приемлемым для общеобразовательной школы при изучении применения производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.





Рис. I



Рис. 2



— Посмотрите на рис. 1 и 2. — На рис. 1 представлен график возрастающей функции и проведена касательная к нему в произвольной точке. Что мы видим ? Касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол, значит, производная функции в выбранной точке положительна. А на рис. 2? Касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол, значит, производная отрицательна. Видим, что между знаком производной и характером монотонности функции есть связь. В курсе математического анализа строго доказано, что это действительно так (и формулируются соответствующие теоремы).

Такие рассуждения вряд ли понравятся ревнителям математической строгости, они объявят изложение материала легковесным. Но главное, чтобы изложение: а) фактически не противоречило математике как науке; б) было доступно школьникам. Давайте не забывать, что в школе мы лишь знакомим учащихся с элементами математического анализа, составляющими существенную часть общечеловеческой культуры, формальное изучение этого предмета — удел высшей математики, излагаемой в вузах.

А вообще концепция выбора уровня строгости изложения материала, связанного с элементами математического анализа, должна быть совокупностью нескольких положений.

1) Если некоторое утверждение, используемое в предмете, в принципе недоказуемо в школе, то оно честно принимается без доказательства (например, утверждение о том, что все элементарные функции непрерывны всюду, где они определены) или заменяется геометрическими иллюстрациями (например, теорема о достижении непрерывной функцией на отрезке своих наименьшего и наибольшего значений).

2) Если некоторое утверждение в принципе доказуемо в школе, но это доказательство искусственно, технически сложно и не имеет существенного развивающего значения, то оно не приводится (пример не из математического анализа — теорема сложения для тригонометрических функций).

3) Если некоторое утверждение в школе в принципе доказуемо и это доказательство имеет развивающее значение, то оно дается (например, вывод уравнения касательной, вывод правил дифференцирования суммы и произведения функций — здесь четкие алгоритмы, разбиение доказательства на этапы, планирование своих действий; в то же время без доказательства правила дифференцирования частного вполне можно обойтись — новых идей нет, а технических трудностей много).

Один из крупнейших российских математиков В.И.Арнольд в брошюре «Жесткие и мягкие математические модели» пишет: «Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое — за пространственную ориентацию, интуицию и все необходимое в реальной жизни. У «математиков-исчислителей»... гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет недоразвития правого... Доминирование математиков этого типа и привело к тому засилью аксиоматическо-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней школе), на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом явилось повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожением. Мягкое моделирование требует гармоничной работы обоих полушарий мозга». И еще одна цитата: «Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли целые поколения профессиональных математиков и преподавателей математики, умеющих только это и не представляющих себе возможности какого-либо другого преподавания математики».

Целиком и полностью поддерживая приведенные высказывания, сформулируем два лозунга, относящиеся ко всей школьной математике, но в первую очередь — к преподаванию в старших классах элементов математического анализа: «Меньше схоластики, меньше формализма, меньше жестких моделей, меньше опоры на левое полушарие мозга! Больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше мягких моделей, больше опоры на правое полушарие мозга!» Преподавать в постоянном режиме жесткого моделирования легко — не надо думать ни о мотивации, ни о пропедевтике, ни о психолого-педагогических законах обучения и развития. В этом режиме работают ремесленники от педагогики. Использовать же в преподавании режим мягкого моделирования трудно— это требует от учителя творческого подхода. В общеобразовательной школе должен превалировать режим мягкого моделирования.


Например, при изложении в 10 – ом классе темы «Предел функции на бесконечности» свои усилия учитель должен направить прежде всего на то, чтобы учащиеся могли геометрически интерпретировать запись как наличие у графика функции у =f(x) горизонтальной асимптоты у = b, и, обратно, глядя на график функции, имеющей горизонтальную асимптоту, переходить к аналитической модели (с использованием символа предела). Например, ось абсцисс является асимптотой для гиперболы у = , значит, = 0.

Позднее (в XI классе) учащиеся увидят экспоненту у = ех асимптотически приближающуюся к отрицательному лучу оси абсцисс, значит, ex =0.

Важно научить школьников конструировать эскизы графиков функций с заданными свойствами, например: построить график функции y=f(x), для которой , , причем функция непрерывна и убывает на всей числовой прямой (рис. 3).


у
У


Рис. 3


Это - задание базового уровня. А вот задание посложнее: построить график функции, для которой выполнены три условия из предыдущего примера, а взамен убывания функции предлагается условие f(0) = 5 (рис. 4). Замечу, что я на лекциях не раз предлагал подобные задания учителям математики, и определенные затруднения встречались даже у них. Еще сложнее будет обстоять дело, если добавить условие E(f) = [-2; 7] - график представлен на рис. 5.





Что касается вычисления пределов на бесконечности, то достаточно сообщить учащимся три факта: 1) = 0; 2) предел постоянной функции равен значению константы; 3) теорему об арифметических операциях над пределами (естественно, без доказательства).

При изучении производной основное внимание следует уделить модели lim, ее геометрическому и физическому истолкованиям. Необходимо научить школьников «видеть» приложения производной, опираясь на геометрические иллюстрации, именно «видеть», а не пытаться их формально доказывать, тем более, что в школе попытки строгих доказательств, скажем, теоремы о том, что если у' > 0, то функция возрастает, или теоремы о необходимых условиях экстремума, обречены на провал.

Введение понятия производной, как обычно, начинается с двух классических задач – задачи о скорости и задачи о касательной, – процесс решения которых приводит к новой математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Важное методологическое значение имеет вывод, который делает учитель. Различные задачи из разных областей знания приводят к одной и той же математической модели. Если жизнь выдвигает на повестку дня новую математическую модель, дело математиков специально заняться изучением этой модели в отрыве от ее конкретного содержания. Заняться изучением новой модели – это значит:

1) присвоить ей специальный термин;

2) придумать для нее специальное обозначение;

3) изучить правила оперирования с новой моделью и сферу ее приложения.

Для рассматриваемой модели используется термин производная и обозначение у'.

Обратите внимание учащихся на то, что есть формулы дифференцирования (для конкретных функций) и есть правила дифференцирования (дифференцирование операций – сложения, умножения, деления) и следить за тем, чтобы ученики не говорили «правило дифференцирования функции у = x2», или «формула дифференцирования суммы» и знали, что при вычислении производных мы фактически используем двухшаговый алгоритм: сначала применяем то или иное правило дифференцирования, а затем используем нужные формулы.

Более подробно с построением школьного курса алгебры и начал анализа по УМК А.Г. Мордковича, можно ознакомиться на сайте http://www.ziimag.narod.ru/ Практика развивающего обучения.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница