Заочный конкурс научно-исследовательских работ, рефератов и проектов в области физико-математических наук «новое поколение», посвященный 65-летию Великой Победы Исследовательская работа


Скачать 153.83 Kb.
НазваниеЗаочный конкурс научно-исследовательских работ, рефератов и проектов в области физико-математических наук «новое поколение», посвященный 65-летию Великой Победы Исследовательская работа
Дата27.02.2013
Размер153.83 Kb.
ТипКонкурс


Заочный конкурс научно-исследовательских работ, рефератов и проектов в области физико-математических наук «НОВОЕ ПОКОЛЕНИЕ», посвященный 65-летию Великой Победы


Исследовательская работа

«В мире функций»

Предмет: математика

Номинация: научно-исследовательские работы

Авторы: ученицы 8а класса

МОУ Зареченской СОШ №2

Калашник Алена,

Токарева Екатерина

Адрес школы:

Оренбургская область,

с. Тоцкое 2, ул. Победы, 6а.

Руководитель:

учитель математики

Касымова Г.А.


2010 год

Содержание

  1. Введение………………………………………………………………. 3

  2. Теоретическая часть………………………………………………….. 4

  3. Практическая часть……………………………………………………10

  4. Заключение……………………………………………………………. 14

  5. Список литературы…………………………………………………… 15




  1. Введение

Проблема. На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Актуальность темы. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.

Объект исследования: функции и их приложения.

Цель: увидеть связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека, показать, что понятие “функция” находит широкое применение в жизни.

Задачи:

  • изучить историю возникновения понятия «функция»;

  • найти примеры функций в окружающем мире.


Гипотеза: между величинами существует функциональная связь.

Использованные методы:

  • сбор материала, работа с литературой, опыт, наблюдение, решение задач, анализ, обобщение;

  • изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии);

  • анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме);

  • опрос учащихся и учителей с целью выявления мнения о роли функции в жизни.

Практическая ценность. Мы считаем, что наша работа будет полезна ученикам, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.

  1. Теоретическая часть

История развития понятия функции.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.концепция 20136концепция 20137

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»).концепция 20138

В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п. концепция 20135концепция 20135

Само слово «функция» (от латинского functio - совершение,выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных». Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»). Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой.

sobolev 180px-gelfand2 Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов и др.концепция 20138

Что такое функция?

Разные ученые выдвигали разные мысли. Но мы хотим вас познакомить с одним определением: «Если даны числовое множество X и правило f, позволяющие поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью определения Х; у = f(x) , хЄХ. При этом переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у- зависимой переменной.»

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Функцияэто не только математическое понятие, но и:

функция — работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо;

функция в математике — закон зависимости одной величины от другой;

функция — возможность, опция, умение программы или прибора;

функция — обязанность, круг деятельности;

функция персонажа в литературном произведении;

функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.

Математика создает условия для развития умения применять теоретические знания для решения практических задач, ориентироваться в окружающей нас действительности. Нам кажется, что функциональные зависимости могут касаться самых разнообразных явлений природы и окружающей среды. Каждому человеку в его повседневной практической деятельности приходится применять практические приемы геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков. Без конкретных математических знаний затруднено понимание и восприятие научных знаний, разнообразной социальной, экономической, технологической информации.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, а порой является естественным средством их решения. Математика является языком различных областей науки и нашей жизни.

Экологические проблемы являются глобальными проблемами человечества, всех стран независимо от размеров территории, численности населения, уровня экономического развития.

С функцией мы встречаемся каждый день.

Например:

  • каждый ученик в школе учится в определённом классе. Если обозначить через Х – множество учеников в школе, а через Y – множество классов, то можно сказать, что каждому элементу множества Х (т.е. каждому ученику) сопоставляется единственный элемент множества Y (т.е. тот класс, где данный ученик учится);

  • img_led_nestle.pngпришли в магазин, покупаем конфеты. Пусть их цена 100 рублей. Сколько денег мы отдаем за 2кг? За 3кг? Говорят, что стоимость покупки есть функция от количества конфет;

  • 007.gifежедневная температура на улице есть функция от времени. В одно и то же время температура не может принимать более одного значения и быть одновременно +5 и -10.

Способы задания функций.

Существует несколько способов задания функций:

  • аналитический,

  • словесный,

  • графический,

  • табличный,

  • с помощью графов.

Аналитический способ.

Наиболее распространен аналитический способ задания функции, при котором функция задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы найти у. Пример: у = к х; V = s h ; s = a b

Словесный способ

(пословицы, поговорки)

  • Чем дальше в лес, тем больше дров.

  • Кашу маслом не испортишь.

  • Меньше слов, больше дела.

  • Любишь кататься, люби и саночки возить.

Графический способ.

Распространен и графический способ задания функции. Графиком функции у=f(x), где х из множества Е, называется множество точек плоскости с прямоугольными координатами (х,у), где х из Е, у=f(x). Графический способ состоит в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Этот способ позволяет наглядно представить функциональную зависимость. Пример:

сканирование002

Табличный способ.

При табличном способе задания функция задается в виде таблицы, в которой для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение функции. Табличный способ общеизвестен (таблица квадратов и таблица кубов натуральных чисел и т. д.). Этот способ сразу даёт числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами.

Пример. Таблица квадратов чисел от 1 до 10:

х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

х2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100



С помощью графов.

В математике графом называют набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки именуются вершинами графов, а отрезки- ребрами.

безымянный



  1. Практическая часть

1). Квадратичная функция. Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции является парабола. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха).

  • Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике, например, параболическая арка; свод моста. 7

Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости.

Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов - рефлекторов.

2). От чего зависит стоимость телеграммы, отправленной по территории России? Мы узнали, что стоимость одного слова равна 95 коп., а оформление телеграммы -5 рублей. Получилась такая формула: C=0,95*х +5

3). Как будет меняться длина свечи при горении? Мы для эксперимента взяли свечу длиной 20 см и наблюдали за ней в течение 1 часа.

4). Функция «Обратная пропорциональность» очень важна, как предмет изучения. c:\documents and settings\гульсум\рабочий стол\8x.gif

Она обладает замечательными свойствами, которые позволяют считать её не только предметом изучения, но и средством познания мира, позволяющим сделать мир более совершенным.

Гипербола в жизни. Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Наши предки наблюдали ветвь гиперболы на стене, когда подносили к ней горящую свечу в подсвечнике с круглым основанием.

Применение гиперболы для определения местонахождения. Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на борту самолёта или морского судна принимал радиосигналы от двух пар станций на берегу, которые испускали их одновременно. Используя разность времени между моментами приема сигналов от обеих станций, штурман строил две гиперболы, пересечение которых на карте позволяло определить место, где он находился.

Гипербола и космические спутники

  • Если спутник движется «с первой космической скоростью, то он будет вращаться вокруг Земли по круговой орбите».

  • При достижении «второй космической скорости, траектория спутника станет параболической и спутник никогда не вернётся в точку из которой он запущен».

  • При дальнейшем увеличении скорости, спутник будет двигаться по гиперболе и второй фокус появится с другой стороны (центры Земли всё время будут находиться в фокусе орбиты).

5). Тригонометрическая функция.

Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания применяются для просеивания материалов на виброситах, безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, работу сердца и мозга.

В 7 классе, изучая графики функций, нам стало интересно: где же еще применяются графики, оказалось, что метеорологическая служба фиксирует изменения температуры, строя с помощью термографа график температуры.

c:\documents and settings\гульсум\рабочий стол\quotes.pngc:\documents and settings\гульсум\рабочий стол\noaa_t27612.gif

Используя показания сейсмографов ( приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики – сейсмограммы), геологи могут предсказать приближение землетрясение или цунами. c:\documents and settings\гульсум\рабочий стол\seismogramtn.jpg

Врачи выявляют болезни сердца с помощью кардиографа, их называют кардиограммами. 211395914.jpgc:\documents and settings\гульсум\рабочий стол\091bac050e60720b0d80a45e66935956.jpegheart17.gif

6). Свойства функции в пословицах и поговорках.

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

«Чем дальше в лес, тем больше дров»

График представит количество дров как функцию пути.

«Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне.

«Горе как море, берегов не видно»

«Долго думал, да ничего не выдумал»

«Без труда не вынешь и рыбки из пруда»

Экологическая ниша.img085

Есть в экологии универсальное понятие - экологическая ниша. Под «нишей » понимают условия, в которых живет вид, т.е. диапазон факторов среды, в котором данный вид живет и размножается. Допустим, что известны верхние и нижние пределы температуры и влажности, приемлемые для существования какого-либо вида.

Функции в экономике

Широко применяются графики в экономике, в частности, кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей.

c:\documents and settings\гульсум\рабочий стол\a863645c2ceb.gif c:\documents and settings\гульсум\рабочий стол\image011.gif

В течение последних нескольких месяцев страны мира находятся в состоянии финансово - экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию. Нас заинтересовало, какие функциональные зависимости в экономике подверглись изменениям в связи с этим, и каким образом. Изучением этих вопросов занимается математическая экономика - наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов.

Экономический рост в России за последние пять лет в большей степени определялся высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на нефть упали, денежный поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие этого сократился спрос внутри страны на продукцию, что в свою очередь привело к сокращению производства. Финансовый кризис перешел в промышленный.

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

4. Заключение.

В рамках изученной темы и в соответствии с поставленными целями и задачами

  • мы проанализировали и изучили литературу по истории развития функции, применении её в науке и технике;

  • познакомились с определением понятия «функция» и способами задания функции;

  • познакомились со способами изучения функциональной зависимости величин: опыт, измерение, вычисление, составление таблиц и построение графиков;

  • научились применять изученные способы для установления функциональных зависимостей между величинами и описания свойств величин на основании их функциональной зависимости;

  • обобщили сведения о линейной функции, выяснили её связь с повседневной жизнью и устным народным творчеством.



5.Список литературы.

  1. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 9 – 10 кл. – 2 – е изд., испр. – М.: Просвещение, 1993.

  2. Волович М.Б. «Справочник школьника 5-11 класс»

  3. Володин В.А/ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Общество. Экономика и политика Ч.1», том 21- М.:/ 2002 г.

  4. Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение. - 1982.

  5. Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. - 1983.

  6. Интернет-ресурсы:http://linear function.ru

  7. http://ru.wikipedia.org/wiki/ЭТ

  8. Макарычев Ю.Н. “Алгебра 7 класс”. – 6-е изд. – М. : Издательство “Просвещение”, 1998.

  9. Мордкович А.Г. “Алгебра 7 класс”. – 11-е изд. – М. : Издательство “Мнемозина”, 2008.

  10. Ульяновская Н. Н. О, функция, как ты Важна // Математика. – 1999. - №45.

  11. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.



Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница