Введение 2


Скачать 342.59 Kb.
НазваниеВведение 2
страница3/5
Дата26.10.2012
Размер342.59 Kb.
ТипРеферат
1   2   3   4   5

Аксиоматика проективной геометрии


Проективная геометрия, как и евклидова, может быть построена на собственном аксиоматическом фундаменте. Так как в проективном пространстве между точками, прямыми и плоскостями существуют лишь два отношения: принадлежности и разделенности, то проективная аксиоматика содержит лишь аксиомы соединения, порядка и аксиому непрерывности.

Аксиомы соединения


  1. Если две точки, принадлежащие прямой а, принадлежат плоскости α, то и всякая точка принадлежащая прямой а, принадлежит плоскости α.

  2. В этом случае говорят, что прямая а принадлежит плоскости α.

  3. Две различные точки А и В всегда принадлежат одной, и только одной, прямой а.

  4. Две различные плоскости α и β всегда принадлежат одной, и только одной, прямой а.

  5. Точка А и не принадлежащая ей прямая b всегда принадлежат одной, и только одной, плоскости а.

  6. Плоскость α и не принадлежащая ей прямя b всегда принадлежат одной, и только одной, точке А.

  7. Существуют четыре точки, не принадлежащие как одной прямой, так и одной плоскости.

Аксиомы порядка


  1. Всякие две точки А и В, принадлежащие одной прямой а, разделяют все остальные точки этой прямой на два класса так, что каждая точка прямой а, отличная от А и В, принадлежит одному из этих классов. Каждый класс содержит, по крайней мере, одну точку.

Определение. Каждый из двух классов, определенных точками А и В, называется отрезком АВ (или ВА), а точки А и В – концами отрезка АВ.

С помощью понятие отрезка и определяется разделенность двух пар точек.

  1. Если АВСD, то и СD АВ.

  2. Любые четыре точки прямой могут быть единственным образом разбиты на две разделенные пары.

  3. При любом проектировании разделенные пары точек переходят в разделенные пары.

Аксиома непрерывности


Аксиомой непрерывности проективного пространства служит принцип Дедекинда, данный в проективной форме.

Если бы мы пытались построить проективное пространство на основе формулированных выше аксиом принадлежности и порядка, то оказалось бы, что наша аксиоматическая база еще недостаточна. Правда, благодаря аксиомам порядка мы получили бы пространство, содержащее бесконечное множество точек, прямых и плоскостей. Так, например, применяя аксиомы порядка, мы можем утверждать, что каждый отрезок содержит точку, не совпадающую с его концами, и, применяя это положение к новому отрезку, одним из концов которого является найденная точка, констатировать существование второй точки, затем третьей и т.д. Однако процесс этот является счетным, и, применяя его, мы получим на прямой лишь счетное множество точек, соответствующее множеству рациональных точек (точек с рациональной координатой) на числовой прямой. По этой причине пространство, построенное на базе упомянутых аксиом принадлежности и порядка, иногда называют рациональным проективным пространством. По сравнению с тем проективным пространством, которое мы построили, дополнив евклидово пространство несобственными элементами, рациональному проективному пространству недостает свойства непрерывности. Это свойство может быть выражено в следующей форме, в которой оно известно под названием аксиомы непрерывности. Запишем здесь формулировку, представляющую видоизменение аксиомы непрерывности Дедекинда.

Пусть все точки отрезка АВ разбиты на два класса (см. рис1) причем точка А принадлежит к первому, а точка В – ко второму классу. Обозначим через Х произвольную точку первого класса, отличную от А, а через Y – точку второго класса, отличную от В. Если для любой пары Х и Y будет выполняться условие

AYXB,

тогда существует такая точка С отрезка АВ (принадлежащая к первому или второму классам), что

ACXY и CBXY

для всех точек Х и Y, отличных от С.

Очевидно, что это предложение о непрерывности множества точек на прямой может быть посредством проектирования распространено на множество прямых пучка. В самом деле, прямые пучка может быть приведены во взаимно однозначное соответствие с точками прямолинейного ряда точек, причем точками какого-либо отрезка прямой соответствуют прямые соответствующего угла пучка. Поэтому всякому разбиению множества точек отрезка будет соответствовать разбиение множества прямых соответствующего угла, а точке С, осуществляющей такое разбиение на отрезке, – прямая с, осуществляющая его в угле.

Подобным же образом принцип непрерывности может быть посредством проектирования перенесен на пучок плоскостей. Поэтому в качестве аксиомы непрерывности для построения проективного пространства было бы достаточно принять формулированную выше аксиому Дедекинда.


При аксиоматическом построении геометрии понятиям «несобственная точка», «несобственная прямая», «несобственная плоскость» нет места: всякие две точки, две прямые, две плоскости совершенно одинаковы и ничем, кроме положения в пространстве, не отличаются.
1   2   3   4   5

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница