Введение 2


Скачать 342.59 Kb.
НазваниеВведение 2
страница2/5
Дата26.10.2012
Размер342.59 Kb.
ТипРеферат
1   2   3   4   5

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТАРНСТВО.

Исторический обзор аксимоматического построения проективной геометрии


Имеются различные аксиоматические способы построения проективного пространства. Наиболее распространенным является видоизменение системы аксиом, предложенной в 1899 году Гильбертом для обоснования элементарной геометрии.

Проективное пространство рассматривается как совокупность элементов трех родов: точек, прямых и плоскостей, между которыми установлено основное для проективной геометрии отношение инцидентности, характеризующееся надлежащими аксиомами. Они отличаются от соответствующих групп аксиом элементарной геометрии, тем, что требуют, чтобы каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, имели общую точку, и на каждой прямой имелось, по крайней мере, три различные точки. В конкретных случаях для получения более “богатой” проективной геометрии эта совокупность аксиом дополняется аксиомами порядка и непрерывности (для действительного проективного пространства), аксиома Паппа (для проективной геометрии над коммутативными телами), Фано постулатом (для проективной геометрии над телами, характеристика которого порядка 2) и т.д.

Замечательным положением проективной геометрии является принцип двойственности. Говорят, что точка и прямая (точка и плоскость, прямая и плоскость) инцидентны, если точка лежит на прямой (или прямая проходит через точку и т.д.). Тогда если верно некоторое предположение А о точках, прямых и плоскостях проективного пространства, сформулированные только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и двойственное предложение В, которое получается из А заменой слова “точка” на слово “плоскость”, слово “плоскость” на слово “точка” и с сохранением слова прямая.

Важную роль в проективной геометрии играет Дезарга предложение, выполнение которого необходимо и достаточно для введения проективными средствами системы проективных координат, составленных их элементов некоторого тела, естественным образом связанного с точкой проективной прямой.

Основы проективной геометрии заложены в XVII в Ж. Дезаргом и Б. Паскалем. Большое значение для последующего развития проективной геометрии имели работы П. Монтена (2-я половина XVIII в – начало XIX в).

Как самостоятельная дисциплина проективная геометрия была изложена Понселе (начало XIX в). Заслуга Ж. Понселе заключается в выделении проективных свойств фигур в отдельный класс, и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур.

К этому же периоду относятся работы Ж. Брионшона. Дальнейшее развитие проективная геометрия получила в трудах Я. Штейнера и М. Шаля. Большую роль в развитии проективной геометрии сыграли работы К. Штаудта, в которых были намечены также контуры аксиоматического построения проективной геометрии.

Все эти геометрии, стремились доказать теоремы проективной геометрии синтетическим методом, положив в основу изложенные проективные свойства фигур.

Аналитическое направление в проективной геометрии было намечено работами А. Мебиуса. Влияние на развитие проективной геометрии оказали работы Н.И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные геометрии, систематизировать с точки зрения проективной геометрии.

Развитие аналитических методов обычной проективной геометрии и построение на этой базе комплексной проективной геометрии поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над которым построена геометрия. В решении этого вопроса больших успехов добились А.Н. Колмогоров и Л.С. Понтрягин.

Расширенное евклидово пространство.


Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур.

Проективные свойства плоской фигуры – это те ее свойства, которые сохраняются при всевозможных перспективных отображениях. Перспективное отображение плоскости на плоскость осуществляется путем проектирования точек плоскости на плоскость из некоторой точки О (центра проекции), не лежащей ни в одной из этим двух плоскостей.

Перспективное отображение сохраняет прямолинейное расположение точек и, значит, переводит, вообще говоря, всякую прямую плоскости в прямую плоскости . Если плоскости и пересекаются по прямой s, то всякая точка этой прямой совпадает со своим образом; следовательно, всякие две соответственные прямые либо пересекаются на прямой s , либо обе параллельны s.

Перспективное отображение не сохраняет ни длины отрезка, ни середины отрезка, ни меры угла, ни перпендикулярности, ни параллелизма прямых: образами параллельных прямых являются, вообще говоря, пересекающиеся прямые. Следовательно, все эти понятия (длина отрезка, середина отрезка, мера угла, перпендикулярность, параллелизм) не являются проективными и в проективных предложениях не могут встречаться. Поэтому ни циркуль, ни треугольник не являются проективными чертежными инструментами. Единственным проективным чертежным инструментом является линейка (односторонняя, без делений) как средство проведения прямых линий.

Так как перспективное отображение может переводить параллельные прямые в пересекающиеся и наоборот, то оно не является взаимно однозначным: на всякой прямой, лежащей в плоскости или и не параллельной линии пересечения s, имеется одна точка, для которой не существует в другой плоскости образа или соответственного прообраза. Это обстоятельство вызывает необходимость подвергнуть евклидово пространство своеобразной реконструкции путем присоединения к нему таких новых «точек», чтобы в полученном расширенном пространстве перспективное отображение всегда было взаимно однозначным. Это делается следующим образом.

Несобственные элементы пространства


Для исключения метрический свойств необходимо сделать один шаг большой принципиальной важности, а именно, расширить наш взгляд на взаимное пересечение геометрических элементов.

Как известно, в евклидовом пространстве (на евклидовой плоскости) каждая точка служит центром связки прямых (пуска прямых) I рода. Существуют также связки и пучки прямых II рода; они состоят из параллельных прямых и центров не имеют. Перспективное отображение переводит пучок II рода, вообще говоря, в пучок I рода. Поэтому отныне будем считать, что в пространстве всякая связка прямых, а на плоскости всякий пучок прямых, имеет определенный центр. Центры связок и пучков I рода – это старые, собственные точки, а центры связок и пучков II рода – это новые, несобственные точки. Взаимное расположение собственных и несобственных точек определяется следующими соглашениями, вытекающими из определения несобственных точек:

  1. каждая прямая имеет одну несобственную точку;

  2. несобственная точка прямой принадлежит любой плоскости, проходящей через эту прямую;

  3. всякие две параллельные прямые имеют общую несобственную точку;

  4. всякие две параллельные прямые имеют различные несобственные точки;

  5. совокупность всех несобственных точек плоскости есть несобственная прямая той плоскости;

  6. всякие две параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую;

  7. совокупность всех несобственных точек пространства есть несобственная плоскость.

Прямая, дополненная несобственной точкой, называется проективной прямой. Плоскость, дополненная несобственной прямой, называется проективной плоскостью. Пространство, дополненное несобственной плоскостью, называется проективным пространством.

В отличие от евклидовой прямой, проективная прямая есть замкнутая линия. Поэтому она, как и окружность, обладает следующими порядковыми свойствами:

  1. точка проективной прямой не разбивает ее на две полупрямые;

  2. две точки проективной прямой разбивают ее на два смежных отрезка;

  3. на проективной прямой понятие «между» не имеет смысла: как бы ни были расположены на ней три точки А, В, С, всегда один из двух смежных отрезков АВ не содержит точки С и потому можно, двигаясь по прямой, попасть из А в В, не пройдя через С.

Порядок точек на проективной прямой определяется с помощью понятия «разделенность»: если точки С и D принадлежат двум смежным отрезкам АВ, то говорят, что пара точек А, В разделяет пару С, D, и пишут:

АВСД;

Если же С и принадлежат одному и тому же отрезку АВ, то говорят, что пара А, В не разделяет пары С, D, и пишут:

АВ – СD.

Аналогично определяется понятие разделенности для двух пар прямых одного пучка.

Две прямые а и b некоторого пучка прямых разбивают множество всех остальных прямых этого пучка на два класса. Каждый класс заполняет пару вертикальных углов (ab) со сторонами a и b. Говорят, что пара прямых a,b разделяет или не разделяет пару прямых c, d данного пучка, смотря по тому, принадлежат ли с и d смежным углам (ab) или одному и тому же углу (ab).

Легко заметить, что разделенные пары прямых проектируют разделенные пары точек.

Из указанных выше свойств проективной прямой вытекают следующие свойства проективной плоскости и проективного пространства:

  1. проективная прямая, лежащая в некоторой проективной плоскости, не разбивает эту плоскость на две полуплоскости;

  2. всякие две прямые, лежащие в одной проективной плоскости, разбивают эту плоскость на две смежные области;

  3. проективная плоскость не разбивает проективное пространство на два полупространства и потому является односторонней поверхностью. Это значит, что по отношению к проективной плоскости (а также по отношению к проективной прямой на плоскости) не имеют смысла выражения «по одну сторону» и «по разные стороны».
1   2   3   4   5

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница