14. аппроксимация сигналов и функций


Скачать 257.95 Kb.
Название14. аппроксимация сигналов и функций
страница1/3
Дата05.11.2012
Размер257.95 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3




ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Тема 14. АППРОКСИМАЦИЯ СИГНАЛОВ И ФУНКЦИЙ

На фабрике будущего будут заняты только двое служащих: человек и собака. Человек будет нужен для того, чтобы кормить собаку. Собака будет нужна для того, чтобы не позволять человеку прикасаться к оборудованию.

Уоррен Беннис, американский экономист.

Блестящий пример линейной экстраполяции по двум узловым точкам – прошлому и настоящему. Потребуется конкретизация – повышайте степень аппроксимации введением новых точек: что производит фабрика, есть ли на ней профсоюз, чем кормят собаку. Появление председателя профсоюза гарантировано.

Станислав Игумнов, Уральский геофизик.

Содержание

Введение.

1. Приближение сигналов рядами Тейлора.

2. Интерполяция и экстраполяция сигналов. Полиномиальная интерполяция. Кривые Безье.

3. Сплайновая интерполяция.

4. Спектральный метод интерполяции. Спектр дискретного сигнала. Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона.

5. Децимация и интерполяция цифровых сигналов. Децимация с целым шагом. Интерполяция с целым шагом. Преобразование частоты дискретизации с нецелым шагом.

6. Методика аппроксимации эмпирических данных. Мера приближения. Аппроксимирующая функция. Порядок модели. Оценка качества приближения.

ВВЕДЕНИЕ

Математика часто оперирует с математическими функциями решения дифференциальных уравнений и интегралов, которые не имеют аналитических выражений и представляются табличными числовыми значениями yi для дискретных значений независимых переменных xi вместо аналитических выражений в виде y=s(x). Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствии определенное числовое значение y. Аналогичными таблицами {yi, xi} могут представляться и экспериментальные данные, для которых неизвестна явная связь между y и x или эта связь только подлежит выяснению. Точки, в которых определены числовые значения функций или данных, называются узловыми.

Однако на практике могут понадобиться значения данных величин совсем в других точках, отличных от узловых, или с другим шагом дискретизации аргументов. Возникающая задача вычисления значений функции в промежутках между узами называется задачей интерполяции, за пределами семейства узловых точек вперед или назад по переменным – задачей экстраполяции или прогнозирования.

Даже при известных зависимостях y=s(x) формулы этих зависимостей, детально и точно описывающие определенные физические объекты и процессы, могут быть очень сложными и мало пригодными для практического использования как при математическом анализе физических данных, так и в прикладных задачах, особенно при расчетах ожидаемых результатов измерений и при математическом моделировании физических процессов. Кроме того, практическая регистрация физических данных выполняется, как правило, с определенной погрешностью или с определенным уровнем шумов, которые по своим значениям могут быть выше теоретической погрешности прогнозирования сигналов при расчетах по сложным, хотя и очень точным формулам. Не имеет смысла и проектирование систем обработки и анализа сигналов по высокоточным формулам, если повышение точности расчетов не дает эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации. Аппроксимация, это представление сложных функций s(x) или дискретных выборок из этих функций s(xi) простыми и удобными для практического использования функциями аппроксимации f(x) таким образом, чтобы отклонение f(x) от s(x) в области ее задания было наименьшим по определенному критерию приближения.

Если приближение строиться на заданном множестве точек {xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения на непрерывном множестве точек, например на отрезке [a,b], аппроксимация называется непрерывной или интегральной.

Сглаживание статистических данных или аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии. Как правило, при регрессионном анализе усреднение данных производится методом наименьших квадратов (МНК).

Классические математические методы аппроксимации, интерполяции, экстраполяции и регрессии функций имеют многовековую историю. В рамках настоящего курса мы не будем углубляться в строгую математическую теорию этих операций. Все современные математические системы (Mathcad, Matlab, Maple и пр.) имеют в своем составе универсальный аппарат выполнения таких операций, дающий пользователю возможность реализации любых практических задач по обработке данных. В качестве основной математической системы для примеров будем использовать систему Mathcad.

14.1. Приближение сигналов рядами тейлора [39]

Разложение функций в ряд Тейлора явилось одним из первых методов приближения функций в окрестностях точек х0:

f(x)  f(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 + … + (x-x0)n.

f(x)  f(x0) +(x-x0)i.

При разложении функции в окрестностях точки х0=0 ряд Тейлора принято называть рядом Маклорена.

Первый член ряда f(x0) представляет собой отсчет функции в точке х0 и грубое приближение к значениям функции в окрестностях этой точки. Остальные члены ряда детализируют значения функции в окрестностях точки х0 по информации в соседних точках и тем точнее приближают сумму ряда к значениям функции, чем больше членов суммы участвуют в приближении, с расширением интервала окрестностей точного приближения. Наглядно это можно видеть на примере двух функций, приведенном на рис. 14.1.1 (с усечением отображения членов рядов f2(x) и f4(x)).



Рис. 14.1.1. Примеры разложения функций в ряд Маклорена.

Приближение функций рядом Тейлора применяется, в основном, для непрерывных гладких функций в локальных интервалах задания. Для разрывных и периодически повторяющихся функций использовать его практически невозможно, равно как и для непрерывных не дифференцируемых функций. Операция дифференцирования тоже может быть далеко не простой, а получаемые ряды могут сходиться очень медленно.

14.2. интерполяция и экстраполяция сигналов [39, 55].

Полиномиальная интерполяция. Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Сущность его заключается в том, что функции yi = s(xi) сопоставляется интерполяционный многочлен

f(x) = а0 + а1х + а2х2 + … + anxn =ai·xi, (14.2.1)

принимающий в точках xi те же значения yi, что и функция f(x). Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно по выражению (14.2.1) составить систему линейных уравнений для n узловых точек и определить n значений коэффициентов ai.

При N точках функции yi максимальная степень интерполяционного многочлена n=N-1, и в этом случае говорят о глобальной интерполяции с прохождением f(x) через все значения точек yi. Однако в этом случае при большом количестве узлов получается очень высокая степень многочлена. Кроме того, экспериментальные табличные данные могут содержать ошибки измерений, а глобальная интерполяция повторит все допущенные при измерениях ошибки. Для исключения этого фактора стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (как правило, n=1, 2, 3), график которого проходит близко от узловых точек. На практике мерой отклонения многочлена f(x) от заданной функции на множестве точек (xi,yi) является величина  среднеквадратичного приближения 2 = i(f(xi)-yi)2, минимальное значение которой обеспечивается подбором коэффициентов ai.

Пример выполнения глобальной интерполяции приведен на рис.14.2.1. Равномерной дискретизации данных для интерполяции не требуется. Максимальная степень полинома на практике обычно устанавливается не более 8-10, а большие массивы данных интерполируются последовательными локальными частями.




Рис. 14.2.1. Интерполяция данных.
Линейная и квадратичная интерполяция являются самыми простыми способами обработки таблиц и выполняются по уравнениям:

f(x)лин = а0 + а1х. f(x)кв = а01х+а2х2.

При линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Графически это означает простое соединение узловых точек отрезками прямых. В системе Mathcad для этого используется функция linterp(X,Y,x), где X и Y – вектора узловых точек. Функция linterp(X,Y,x) возвращает значение функции при её линейной интерполяции по заданным аргументам х. При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. Для целей экстраполяции функция linterp не предназначена.

Для практического использования более удобны формулы аппроксимации, не требующие предварительного определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов. К числу таких формул относится интерполяционных многочлен по Лагранжу /40/. При аппроксимации функции у(х) многочленом n-й степени Y(x):

Y(x) =  +  +…

…+ . (14.2.2)

Пример интерполяции по Лагранжу приведен на рис. 14.2.2.




Рис. 14.2.2. Интерполяция по Лагранжу.
Кривые Безье. Для задач аппроксимации широко применяются кривые Безье. Это связано с их удобством как для аналитического описания, так и для наглядного геометрического построения. При использовании кривых Безье в компьютерной графике пользователь может задавать форму кривой интерактивно, двигая опорные точки курсором на экране.

Метод построения кривых был предложен де Кастелье в 1959 году и основан на разбиении отрезков, соединяющих исходные точки в отношении t, а затем в рекурсивном повторении этого процесса для полученных отрезков:

(t) = (1-t)(t) + t(t), (14.2.3)

где нижний индекс - номер точки, верхний индекс - уровень разбиения. Уравнение кривой n-ого порядка задается уравнением: P(t) = (t).




Рис. 14.2.3.
Для примера построим кривую для трех опорных точек P0(t=0), P1 и P2(t=1) на интервале t=[0, 1] (рис. 14.2.3).

Для каждого t[0, 1] определим точку :

= (1-t)P0 + tP1, = (1-t)P1 + tP2,

= (1-t) + t=(1-t)2P0(t)+2t(1-t)P1(t)+t2P2(t),

и тем самым получим кривую второго порядка.




Рис. 14.2.3.
Аналогичным образом построение кривой Безье с четырьмя опорными точками будет определяться следующими выражениями:

=(1-t)P0+tP1, =(1-t)P1+tP2, =(1-t)P2+tP3,

=(1-t)+t=(1-t)2P0(t)+2t(1-t)P1(t)+t2P2(t), =(1-t)+t=(1-t)2P1(t)+2t(1-t)P2(t)+t2P3(t),

= (1-t) + t=(1-t)3P0(t)+3t(1-t)2P1(t)+ 3t2(1-t)P2(t)+t3P3(t).

Общая аналитическая запись для кривых Безье по N+1 опорной точке:

PN(t) = Pi , = ti (1-t)N-i,

= N!/(i! (N-i)!) – биномиальные коэффициенты.

Кривые Безье всегда проходят через начальную P0 и конечную PN точки. Если рассматривать опорные точки в противоположном порядке, то форма кривой не изменяется. Если опорные точки лежат на одной прямой, то кривая Безье вырождается в отрезок, соединяющий эти точки. Степень многочлена, представляющего кривую в аналитическом виде, на 1 меньше числа точек.

  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница