Программа вступительного экзамена по специальности вещественный, комплексный и функциональный анализ


Скачать 118.98 Kb.
НазваниеПрограмма вступительного экзамена по специальности вещественный, комплексный и функциональный анализ
Дата27.10.2012
Размер118.98 Kb.
ТипПрограмма
УТВЕРЖДЕНО

на заседании Ученого совета

ТГУ имени Г.Р. Державина,

протокол № 11

от «8»июня 2010 г.

Ректор В.М. Юрьев


ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ



      1. ВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ

И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ


Тамбов 2010


Введение

В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математический анализ, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ, линейные операторы в гильбертовом пространстве, дифференциальный уравнения и уравнения с частными производными.


Программа разработана методическим объединением Института математики, физики и информатики Тамбовского Государственного Университета им. Г.Р. Державина.



  1. Математический анализ


Действительные числа.

Ограниченные множества на прямой. Отображения множеств. Функции действительного переменного.

Последовательности.

Числовые последовательности. Предел последовательности. Сходимость монотонной последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.

Предел и непрерывность функции.

Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Бесконечные пределы функции.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на множестве. Свойства непрерывных функций. Непрерывность основных элементарных функций. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Производная и определенный интеграл.

Производная. Связь дифференцируемости с непрерывностью. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций. Дифференциал.Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Определенный интеграл. Классы интегрируемых функций. Интеграл с переменным верхним пределом, существование первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Гамма-функция. Бета-функция.

Функциональные последовательности и ряды.

Числовые ряды. Признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование предельной функции и суммы ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Промежуток сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Условия разложения функции в степенной ряд. Тригонометрический ряд Фурье. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции. Ряд Фурье в комплексной форме.

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.

Дифференцируемость и дифференциал.

Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал. Гладкость. Связи между существованием частных производных, дифференцируемостью, непрерывностью и гладкостью. Производная по направлению. Градиент. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Отображения.

Отображения из Rn в Rm. Линейные отображения. Криволинейные координаты. Дифференцируемые отображения. Гладкие отображения. Касательное отображение. Матрица Якоби, якобиан. Теорема о неявной функции. Кривые, задаваемые уравнением F(x,y)=0. Поверхности, задаваемые уравнением F(x,y,z)=0.

Экстремумы.

Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум.

Интегрирование.

Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием. Замена переменной в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Тройной интеграл. Криволинейный интеграл от дифференциальной формы. Связь с криволинейным интегралом по длине кривой. Необходимое и достаточное условие существования первообразной. Формула Грина. Криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы на плоскости. Поверхностный интеграл от дифференциальной формы по параметризованной поверхности. Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной поверхности. Формула Стокса. Векторная форма формулы Стокса. Криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы в пространстве. Формула Остроградского-Гаусса. Векторная форма формулы Остроградского-Гаусса.


  1. Комплексный анализ

Комплексные числа. Стереографическая проекция. Комплексные функции вещественного переменного. Комплексные функции комплексного переменного. Предел, непрерывность. Производная. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости, уравнения Коши-Римана. Геометрический смысл производной. Понятие аналитической функции. Элементарные функции комплексного переменного. Определение интеграла функции комплексного переменного. Связь с криволинейным интегралом. Интегральная теорема Коши. Первообразная. Теорема Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Интегральная формула Коши. Последовательности и ряды комплексных чисел. Степенные ряды с комплексными членами. Разложение функций в степенные ряды. Равномерная сходимость. Аналитичность суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Нули аналитической функции. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Изолированные особые точки. Вычеты и их приложения. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.



  1. Функциональный анализ

Эквивалентные множества. Мощность множества. Счетные множества. Гипотеза континуума. Строение открытых и замкнутых множеств на прямой. Совершенные множества. Мера Лебега. Измеримые функции. Эквивалентные функции. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции. Метрические пространства. Полные метрические пространства. Гильбертовы пространства. Ряд Фурье по ортогональной системе в гильбертовом пространстве.

Сходимость ряда Фурье по ортогональной системе. Полные ортогональные системы.


  1. Линейные операторы в гильбертовом пространстве.

Вполне непрерывные операторы. Сопряженный оператор. Самосопряженные операторы. Теорема Гильберта о вполне непрерывном самосопряженном операторе. Интегральные уравнения. Интегральные операторы Фредгольма. Оператор Гильберта-Шмидта. Теоремы Фредгольма. Резольвента. Спектр. Спектр самосопряженного ограниченного оператора. Резольвента самосопряженного ограниченного оператора. Спектральное разложение для ограниченных самосопряженных операторов. Операторы в конечных пространствах. Матрица линейного оператора. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к диагональному виду.


  1. Дифференциальные уравнения

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы.


  1. Уравнения с частными производными.

Метод Фурье. Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение. Задачи Дирихле и Неймана. Задача Дирихле для круга.


Вопросы

для вступительного экзамена по специальности

01.01.01 «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»


  1. Действительные числа. Ограниченные множества на прямой.

  2. Отображения множеств. Функции действительного переменного.

  3. Числовые последовательности. Предел последовательности. Сходимость монотонной последовательности.

  4. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.

  5. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Бесконечные пределы функции.

  6. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на множестве. Свойства непрерывных функций.

  7. Непрерывность основных элементарных функций. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

  8. Производная. Связь дифференцируемости с непрерывностью. Правила дифференцирования.

  9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций. Дифференциал.

  10. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования.

  11. Определенный интеграл. Классы интегрируемых функций. Интеграл с переменным верхним пределом, существование первообразной.

  12. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Гамма-функция. Бета-функция.

  13. Числовые ряды. Признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости.

  14. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

  15. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование предельной функции и суммы ряда.

  16. Степенные ряды. Теорема Абеля. Промежуток сходимости.

  17. Равномерная сходимость степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

  18. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Условия разложения функции в степенной ряд.

  19. Тригонометрический ряд Фурье. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.

  20. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции. Ряд Фурье в комплексной форме.

  21. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.

  22. Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал. Гладкость.

  23. Связи между существованием частных производных, дифференцируемостью, непрерывностью и гладкостью. Производная по направлению. Градиент.

  24. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

  25. Отображения из Rn в Rm. Линейные отображения. Криволинейные координаты.

  26. Дифференцируемые отображения. Гладкие отображения. Касательное отображение.

  27. Матрица Якоби, якобиан. Теорема о неявной функции.

  28. Кривые, задаваемые уравнением F(x,y)=0. Поверхности, задаваемые уравнением F(x,y,z)=0.

  29. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум.

  30. Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием. Замена переменной в двойном интеграле.

  31. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Тройной интеграл.

  32. Криволинейный интеграл от дифференциальной формы. Связь с криволинейным интегралом по длине кривой.

  33. Необходимое и достаточное условие существования первообразной. Формула Грина.

  34. Криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы на плоскости. Поверхностный интеграл от дифференциальной формы по параметризованной поверхности.

  35. Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной поверхности. Формула Стокса. Векторная форма формулы Стокса.

  36. Криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы в пространстве. Формула Остроградского-Гаусса. Векторная форма формулы Остроградского-Гаусса.

  37. Комплексные числа. Стереографическая проекция. Комплексные функции вещественного переменного. Комплексные функции комплексного переменного.

  38. Предел, непрерывность. Производная. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости, уравнения Коши-Римана. Геометрический смысл производной.

  39. Понятие аналитической функции. Элементарные функции комплексного переменного. Определение интеграла функции комплексного переменного.

  40. Связь с криволинейным интегралом. Интегральная теорема Коши.

  41. Первообразная. Теорема Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Интегральная формула Коши.

  42. Последовательности и ряды комплексных чисел. Степенные ряды с комплексными членами.

  43. Разложение функций в степенные ряды. Равномерная сходимость. Аналитичность суммы степенного ряда.

  44. Ряд Тейлора. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Нули аналитической функции.

  45. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Изолированные особые точки. Вычеты и их приложения.

  46. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

  47. Эквивалентные множества. Мощность множества. Счетные множества. Гипотеза континуума.

  48. Строение открытых и замкнутых множеств на прямой. Совершенные множества. Мера Лебега. Измеримые функции. Эквивалентные функции.

  49. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции.

  50. Метрические пространства. Полные метрические пространства. Гильбертовы пространства.

  51. Ряд Фурье по ортогональной системе в гильбертовом пространстве. Сходимость ряда Фурье по ортогональной системе. Полные ортогональные системы.

  52. Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Вполне непрерывные операторы. Сопряженный оператор. Самосопряженные операторы.

  53. Теорема Гильберта о вполне непрерывном самосопряженном операторе. Интегральные уравнения. Интегральные операторы Фредгольма.

  54. Оператор Гильберта-Шмидта. Теоремы Фредгольма. Резольвента. Спектр.

  55. Спектр самосопряженного ограниченного оператора. Резольвента самосопряженного ограниченного оператора. Спектральное разложение для ограниченных самосопряженных операторов.

  56. Операторы в конечных пространствах. Матрица линейного оператора. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

  57. Теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к диагональному виду.

  58. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

  59. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы.

  60. Уравнения с частными производными. Метод Фурье. Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение. Задачи Дирихле и Неймана. Задача Дирихле для круга.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Бохан К.А. Руководство и методические указания по курсу математического анализа. М.: Просвещение, 1969.

  2. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т. 1-2. М.: Просвещение, 1972.

  3. Виленкин Н.Я. и др. Ряды. М.: Просвещение, 1982.

  4. Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл. М.: Просвещение, 1980.

  5. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Математический анализ. Введение в анализ. М.: Просвещение, 1983.

  6. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Интегральное исчисление. М.: Просвещение, 1979.

  7. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М.: Просвещение, 1978.

  8. Волковысский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1970.

  9. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла. М.: Наука, 1973.

  10. Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Мир, 1971.

  11. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1973.

  12. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

  13. Зорич В.А. Математический анализ. Ч.1. М.: Наука, 1981.

  14. Зорич В.А. Математический анализ. Ч.2. М.: Наука, 1984.

  15. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

  16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

  17. Коровкин П.П. Математический анализ. Ч.1. М.: Просвещение, 1972.

  18. Коровкин П.П. Математический анализ. Ч.2. М.: Просвещение, 1974.

  19. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978.

  20. Мордкович А.Г., Мухин А.Е. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному исчислению функций одной переменной. М.: Просвещение, 1985.

  21. Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М.: Просвещение, 1965.

  22. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. М.: Просвещение, 1978.

  23. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Наука, 1976.

  24. Спивак М. Математический анализ на многообразиях.М.: Мир, 1968.

  25. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. Т.1, М.: Просвещение, 1966.

  26. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. Т.2, М.:Просвещение, 1976.

  27. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1-2, М.: Наука, 1968.

  28. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Ч.1-2, М.: Наука, 1972.

  29. Шилов Г.Е. Математический анализ. Спецкурс. М.: Наука, 1960.

  30. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.1-2, М.: Наука, 1970.

Программа вступительного экзамена рассмотрена и утверждена на заседании кафедры математического анализа. Протокол № ___ от «__» _мая__ 2010 г.

Зав. кафедрой математического анализа, д.ф.-м.н., проф. В.Ф. Молчанов

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница