Лекция Элементарные функции


Скачать 74.46 Kb.
НазваниеЛекция Элементарные функции
Дата27.10.2012
Размер74.46 Kb.
ТипЛекция
Лекция 4. Элементарные функции.


План лекции:

  1. Показательная функция.

  2. Логарифмическая функция.

  3. Тригонометрические функции.

  4. Обратные тригонометрические функции.


Содержание лекции:


Вопрос 1. Элементарные функции.

Показательной функцией называется функция вида w = ez. Показательную функцию ez при любом коиплексном показателе z = x + iy определим формулой

ez = ex + iy = ex (cos y + i sin y) (1)

Таким образом, по определению числа ez следует, что его модуль равен ex , а y – аргумент, то есть |ez| = ex, arg ex = y. Приняв такое определение показательной функции, можно показать, что что все правила операций над показательной функцией с действительным аргументом имеют место и для комплексного аргумента. Докажем, например, правило сложения показателей при умножении остаётся справедливым:

(2)

Так же легко проверяется правильность формул:

(3)

(n – целое положительное число)

Формула (1) позволяет вычислить вычислить значения показательной функции при любых комплексных показателях. Например:

e3 – i = e3 (cos 1 – i sin 1)



Показательная функция ez комплексного переменного z = x + i y – функция периодическая с периодом 2 i. Убедимся в этом:



В частности,



(k – целое число).

Показательная функция – функция регулярная во всей плоскости z. Действительно:



откуда заключаем, что

Проверим условие Даламбера – Эйлера:



Условие Даламбера – Эйлера выполняется всюду на плоскости z, поэтому функция ех регулярна во всей плоскости. Так как нигде в плоскости z, то изображение, производимое показательной функцией, конформно во всей плоскости z.

Пример


Отобразить с помощью функции w = ez семейства прямых Re z = a; Im z = b.

Решение


Имеем: откуда

(4)

Отобразим семейство прямых Re z = a, т.е. x = a. Подставив это в (4), получим:



– уравнение окружности в параметрическом виде. Исключим параметр y. Для этого возведём в квадрат и сложим:



  • семейство окружностей в плоскости w с центром в начале координат и радиусом .

В частности, при то есть ось 0y отобразится в окружность радиуса 1.

Отобразим теперь семейство прямых Im z = b, т.е. y = b. Подставим это в (4) и, исключив х, получим:




то есть семейство лучей, выходящих из начала координат.

В частности, при b = 0, действительная ось плоскости z отобразится в прямую:



Но так как ex > 0 как показательная функция, то при изменении < x < , 0 < u <. Отсюда следует, что действительная ось плоскости z отобразится при этом в положительную действительную полуось плоскости w.


Вопрос 2. Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной: число w называется логарифмом числа z, если и обозначается

w = Ln z

Найдём действительную и мнимую части логарифмической функции w = u + iu, z = x + iy.

Согласно определению, получим:



Переходя в этом равенстве к тригонометрической форме комплексных чисел, получим:



Откуда

  1. eu = r, или u = ln r (здесь ln r понимается как действительное значение действительного переменного)

  2. v =  + 2 k = arg z + 2k,

где k – любое целок число.

Итак, мы получим формулу для логарифмической функции

Ln z = ln r + i (arg z + 2 k). (5)

Из формулы (5) видно, что логарифмическая функция – функция, определённая всюду в плоскости z, кроме одной точки z = 0; далее – функция многозначная (так как ); её значения для данного значения z отличаются друг от друга на число 2ki.

Чтобы логарифмическую функцию сделать однозначной, вводят понятие главного значения логарифмической функции. Главным значением логарифма числа z будем называть то значение, которое соответствует главному значению аргумента числа z. Следовательно, в формуле (5) главное значение логарифма получим при k = 0.

Если z = x – действительное положительное число, то | z | = x и arg z = 0, поэтому согласно (5), главное значение логарифма действительного положительного числа является числом действительным и совпадает со значением, обозначаемым символом ln x, которое и приводится в таблице логарифмов. Естественно поэтому символом ln z обозначать главное значение логарифма любого комплексного числа z; Тогда в соответствии с формулой (5) получим

ln z = ln | z | + i arg z (6)

Пример


Найти общее и главное значения логарифмов чисел: а) –1; б) 2i; в) 5 + 12i.

Решение


Найдём для каждого из этих комплексных чисел модуль и главное значение аргумента:

а) | -1 | = 1; arg(-1) = ; б) | 2i | = 2; в)

Применяя теперь формулы (5) и (6), получим:

а)

б)

в)

Логарифмическая функция в смысле главного значения – регулярная во всей плоскости, кроме точки z = 0.

После того, как мы изучили логарифмическую функцию, мы можем ввести понятие степени комплексного числа с комплексным показателем. Для этого заметим сначала, что в силу определения логарифмической функции имеет место равенство:



для любого комплексного значения

Для действительных a и x при a > 0, очевидно справедливо тождество:



Будем теперь считать равенство

(7)

справедливым для любых комплексных и z и тем самым определим величину z при любых комплексных значениях и z.

В силу многозначности логарифма, определённое равенством (7) выражение z многозначно. Его главным значением будем называть то, которое получим, подставив в правую часть (7) ln вместо Ln .. Только при целых действительных (положительных, отрицательных или равных нулю) значениях z формула (7) определяет единственное значение величины z, так как в этом случае неопределённое слагаемое вида 2ki, входящее в Ln , будучи умножено на целое число z, даёт в показателе правой части равенства (7) слагаемое вида , где – также целое действительное число и значения правой части (7), соответствующее различным значениям , совпадают. Напрмер, при z = 2 получим:



При этом мы воспользовались формулами Эйлера и Муавра.

Пример


Вычислить а) ii; б) 31 – i.

Решение

Применим формулу (7):

а)

Главное значение ii равно

б)


Вопрос 3. Тригонометрические функции.

Формулы Эйлера уже были выведены:

;

Эти формулы верны для любого действительного значения .

Функции cos z и sin z для любого z = x + iy определяются по формулам Эйлера:

; ;

Функции tg z и ctg z определяются формулами:



Приняв такое определение, покажем, что имеют место многие свойства тригонометрических фунций, в чрстности все тригонометрические тождества остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Например,



Легко проверить также справедливость формул:



и других.

Сохраняются и такие важные свойства:

  1. Функции sin z и cos z имеют своим периодом 2, а tg z и ctg z – . Действительно, убедимся в этом, например для sin z. Имеем:



При доказательстве мы пользовались тем, что показательная функция ez – функция периодическая с периодом 2i.

  1. Чётность для функции cos z и и нечётность для всех остальных функций.

Но некоторые свойства тригонометрических функций не сохраняются при переходе от действительного аргумента к комплексному. Например, нельзя теперь утверждать, что и . Действительно, например,



Можно доказать, что sin z и cos z могут принимать любое комплексное значение; доказательство этого опускаем.

Покажем, что функции sin z и cos z всюду в плоскости w регулярны. Действительно, проверим выполняемость условий Даламбера – Эйлера, например, для sin z:



Отсюда следует, что:



Видим, что условие Даламбера – Эйлера всюду на плоскости z выполняется, поэтому функция w = sin z всюду в плоскости регулярна.

Аналогично можно было доказать это для функции w = cos z.

Пример


Найти а) sin i; б) cos (1 – i).

Решение


Применяем формулы Эйлера:

а)

б)

Аргумент измеряется в радианах.


Вопрос 4. Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции

w = Arc sin z; w = Arc cos z; w = Arc tg z

определяются как функции, обратные по отношению к тригонометрическим функциям соответственно

z = sin w; z = cos w; z = tg z.

Тригонометрические функции, как мы видели, выражаются через показательные функции; поэтому естественно ожидать, что обратные тригонометрические функции можно выразить через логарифмы.

Получим такое, например выражение для функции

w = Arc sin z.

По формуле Эйлера мы имеем:



Откуда



или



Решив это квадратное относительно eiw уравнение, получим:



откуда



и



Аналогично выводится формула



Так как логарифмическая функция – функция многозначная, то и обратные тригонометрические функции – функции многозначные.

Если z = tg w, то по первой из формул Эйлера имеем:



откуда



или Следовательно,



и



Пример

Найти: а) Arc sin 3; б) Arctg 4i.

Решение


а)

б)






Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница