Решение тестовых задач по математике


НазваниеРешение тестовых задач по математике
страница6/7
Дата11.01.2013
Размер0.94 Mb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7

1. Имеется два сплава золота и серебра. В первом сплаве количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а во втором – в отношении 3 : 7. Сколько граммов первого сплава нужно взять, чтобы вместе со вторым сплавом получилось 12 г нового сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 3 : 5?

Ответ: 9

2. Если смешать 6 кг и 4 кг растворов кислоты разной концентрации, получится 32% – ный раствор этой кислоты. При смешивании равных количеств этих растворов получается 30% – ный раствор. Укажите процент содержания кислоты в растворе с большей концентрацией.

Ответ: 40

3. Имеются два сплава, в первом из которых содержится 40%, а во втором – 20% серебра. Сколько килограммов второго сплава необходимо добавить к 20 кг первого сплава, чтобы получить сплав, содержащий 30% серебра?

Ответ: 20

4. Сплав меди и цинка массой в 12,5 кг содержит 40% меди. Сколько килограммов меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы полученный новый сплав содержал меди в четыре раза больше цинка?

Ответ: 25

5. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили второй сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в получившемся сплаве?

Ответ: 170

6. Имеются два раствора цемента, состоящие из воды, песка и цемента. Известно, что первый раствор содержит 10% воды, а второй -40% цемента. Процентное содержание песка в первом растворе в два раза больше, чем во втором. Смешав 300 кг первого раствора и 400 кг второго раствора, получили новый раствор, в котором оказалось 30% песка. Сколько килограммов цемента содержится в получившемся растворе?

Ответ: 304

7. Для приготовления рассола требуется получить солевой раствор. По рецепту раствор нужной концентрации получается, если на 400 г воды добавить 100 г соли. Сколько граммов соли потребуется, чтобы получить солевой раствор нужной концентрации из 1 литра 10% солевого раствора?

Ответ: 125

8. Для приготовления блюда требуется на 50 г воды добавить 100 г 6% уксуса. У хозяйки имеется только 12% уксус. Сколько граммов 12% уксуса ей нужно добавить на 50 г воды, чтобы получить раствор нужной концентрации?

Ответ: 25

9. Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и пластичностью. Первый такой сплав содержит 5% магния, второй сплав – 3% магния. Масса второго сплава в 4 раза больше, чем масса первого сплава. Эти сплавы сплавили и получили 3 кг нового сплава. Определите, сколько граммов магния содержится в новом сплаве.

Ответ: 102.

10. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Ответ: 22,5.

11. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит цинка на 80 кг меньше, чем меди. Этот кусок латуни сплавили со 120 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Определите массу (в килограммах) первоначального куска латуни.

Ответ: 280.

12. Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?

Ответ: 15.

13. Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй – 40% цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цинка. Определите массу нового сплава.

Ответ: 9.

14. В колбе было 800 г 80% – ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в неё 200 г воды. Определите концентрацию (в процентах) полученного спирта.

Ответ: 60.

15. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько тонн стали первого сорта нужно взять, чтобы в смеси со вторым сортом получить при плавке 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Ответ: 40

16. Имеется руда разной выработки с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т с содержанием 8%?

Ответ: 12




Задачи на прогрессии.


Теория. Входной тест. Основные формулы.

1. Арифметическая прогрессия.

– первый член; d – разность; п – число членов; ап – ы – й член; Sn – сумма п первых членов.



Где k + m = p + q.

2. Геометрическая прогрессия.

b1 – первый член; qзнаменатель (q ≠ 0); п – число членов; n – й член; сумма п первых членов.



при q ≠ 1;

при q = 1



где к + т = p + q.

Если | q | < 1, то геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, и её сумма находится по формуле:




Решение типовых задач на прогрессии.


1. Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 р. А ты мне в первый день за 100 000 р. дашь 1 к., а во второй день за 100 000 р. - 2 к. и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем».

Купец обрадовался такой удаче. Он посчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 миллиона рублей. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Кто проиграл в этой сделке?

Решение.

Составим последовательность чисел, обозначающих количество копеек, которые должен выплачивать купец незнакомцу: 1,2, 4, 8, 16,...

Очевидно, что эти числа составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q=2, первым членом, равным 1, и количеством членов, равным 30.

Найдем сумму:



Значит, купец выплатит незнакомцу 10 737 418 рублей 23 копейки.

Ответ: проиграл в этой сделке купец.

2. Отдыхающий, следуя совету врача, загорал в первый день 5 мин, а в каждый следующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин, если он начал загорать в среду?

Решение.

Время пребывания на солнце отдыхающего составляет арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 5, разность равна тоже 5, ап = 40. Найдем п.



Если а1 – среда, то а8 – тоже среда.

Ответ: в среду.

3. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют арифметическую прогрессию с разностью 5°. Определить число сторон этого многоугольника.

Решение.



Известно, что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180(п – 2).

По условию задачи внутренние углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, значит, Snсумма п первых членов этой прогрессии – сумма внутренних углов этого многоугольника.

Составим и решим уравнение:



При = 16 наибольший угол а16 = 120 + 15 – 5 = 195°, больше развернутого, что противоречит условию задачи (многоугольник – выпуклый).

Ответ: 9.

4. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория – туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

Решение.


Рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, знаменателем, равным 2. Одна инфузория-туфелька (b1) после первого деления дает две инфузории (b2). После шестикратного деления получим седьмой член этой прогрессии.

b7 = b1q6 = 26 = 64.

Итак, из одной инфузории – туфельки после шестикратного деления получится 64 инфузории.

320 : 64 = 5

Ответ: 5.

5. В окружность радиуса 16 см вписан квадрат, а в него вписана вторая окружность. Во вторую окружность вписан второй квадрат, а в него - третья окружность и т.д. Найти площадь девятой по счету окружности.

Решение.


Пусть OD – радиус n – й окружности.

OD =

ОН = rn +1

OHD – прямоугольный, равнобедренный. По теореме Пифагора: OD2 = ОН2 + HD2



откуда

Значит, последовательность радиусов окружностей образует геометрическую прогрессию со знаменателем.

Найдем радиус девятой по счету окружности, т.е.



Площадь этой окружности равна S = (см²).

Ответ: π см2.

6. Из пункта А в пункт В одновременно с постоянными скоростями отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист, прибыв в пункт В, повернул назад и встретил пешехода через 1 ч после начета движения из пункта А. После встречи с пешеходом велосипедист снова поехал в пункт В, а по прибытии туда повернул обратно и встретился с пешеходом через 2/3 ч после первой встречи. После второй встречи велосипедист опять поехал в пункт В, а доехав, повернул обратно и т.д. Найти время, за которое пешеход пройдет путь АВ.

Решение.

Очевидно, что последовательность количества времени от предыдущей встречи до следующей встречи является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.



Ответ: 3 часа.


Практикум по решению задач.


1. Расстояние между движущимися навстречу автомобилями было равно 21 км. Через сколько минут они встретятся, если первый автомобиль за каждую минуту проходит 1 км, а второй в первую минуту прошел 200 м, а в каждую последующую минуту - на 100 м больше, чем за предыдущую?

Ответ: 12.

2. Юноша подарил девушке в первый день 3 цветка, а в каждый последующий день дарил на 2 цветка больше, чем в предыдущий день. Сколько денег он потратил на цветы за две недели, если 1 цветок стоит 10 рублей?

Ответ: 2240.

3. Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предприятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Далее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану 11000 приборов?

Ответ: 25.

4. При подготовке к экзамену ученик каждый день увеличивал количество решённых задач на одно и то же число. С 3 по 6 мая включительно он решил 24 задачи, а с 5 по 10 мая - 72 задачи. Сколько задач ученик решил с 3 по 10 мая включительно?

Ответ: 80.

5. Гомеопатическое лекарство принимают по следующей схеме: в первый день 3 капли, а в каждый последующий на 2 капли больше, пока доза принимаемого лекарства не будет доведена до 25 капель. На следующий день принимают 25 капель и снижают дозу на 2 капли в день, пока она не дойдёт до 3 капель. Сколько капель лекарства примет больной за весь этот курс лечения?

Ответ: 336.

6. Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 р., а после двенадцатого повышения - 1650 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?

Ответ: 21.

7. В течение календарного года зарплата каждый месяц повышалась на одно и то же число рублей. За июнь, июль и август зарплата в сумме составила 9900 р., а за сентябрь, октябрь и ноябрь - 10 350 р. Найдите сумму зарплат за весь год.

Ответ: 39300.

8. За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 - в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день?

Ответ: 3.

9. При подготовке к экзамену ученик каждый день с 1 по 8 июня включительно увеличивал количество решённых задач на одно и то же число. С 1 по 4 июня включительно он решил 24 задачи, а со 2 по 6 июня - 45 задач. Сколько задач ученик решил 8 июня?

Ответ: 17.

10. При испытании нового самолёта первый полёт проводился в течение 2 часов, а затем ежедневно длительность полёта увеличивалась на 30 минут. Всего в процессе испытаний самолёт должен налетать 200 часов. Сколько дней продлятся испытания?

Ответ: 25.

11. При вывязывании детали жакета начинают с ряда, в котором 90 петель, а затем убавляют в каждом ряду по 2 петли с каждого края ряда, пока в ряду не окажется 10 петель. Вязальщица за одну минуту делает 30 петель. Сколько минут займёт у неё изготовление этой детали?

Ответ: 35.

12. Токарь ежедневно вытачивал по 160 деталей, а его ученик, обучаясь, каждый день изготавливал на 10 деталей больше, чем в предыдущий день, и в пятницу сделал за день столько же, сколько и его мастер. Сколько деталей выполнили вместе ученик и его мастер с понедельника по пятницу?

Ответ: 1500

13. За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 2600 руб., а за каждое следующее кольцо платили на 200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость установки одного кольца оказалась равной 2244 руб. Сколько колец было установлено?

Ответ: 9

14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – одно штрафное очко, а за каждый последующий - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Ответ: 21

15. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а за каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?

Ответ: 8

16. В соревнованиях по волейболу участвовало п команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу. За каждую игру выигравшей команде засчитывалось одно очко, за проигрыш очки не начислялись; ничьих в волейболе нет. По окончании соревнований выяснилось, что набранные командами очки образуют арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место?

Ответ: 0

17. Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т.д. Найти площадь седьмого квадрата.

Ответ: 0,25 см2.

18. При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?


Ответ: 78 бревен.

19. Вкладчик 1 января 2005 г. внес в сберегательный банк 3000 рублей. Какой стала сумма его вклада на 1 января 2007 г., если Сбербанк начислял ежегодно 12% от суммы вклада?

Ответ: 3720 р.

20. На куб со стороной а поставили куб со стороной а/2, на него куб со стороной а/4, затем куб со стороной а/8 и т.д. Найти высоту получившейся фигуры.

Ответ: 2а.

21. Настенные русские часы с кукушкой устроены так, что кукушка кукует 1 раз, когда часы показывают половину очередного часа, и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?

Ответ: 180 раз.

22. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток?

Ответ: 1024 а.

23. Внутренние углы треугольника являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, у которой разность равна . Найти эти углы.

Ответ:

24. На международном шахматном турнире в Будапеште в 1986 г. первое место занял знаменитый русский шахматист Чигорин. Участники турнира играли друг с другом один раз. Всего было сыграно 78 партий. Сколько шахматистов участвовало в этом турнире?

1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница