Решение тестовых задач по математике


НазваниеРешение тестовых задач по математике
страница3/7
Дата11.01.2013
Размер0.94 Mb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7

Задачи на движение. Теория.

Основные понятия.

При решении задач на движение принимают такие допущения:

• движение считается равномерным, т.е. происходящим с постоянной скоростью, если нет специальных оговорок;

• изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

• постоянная скорость, с которой рассматриваемый объект двигался бы по стоячей (неподвижной) воде, называется его собственной скоростью. Если движение происходит по реке, имеющей постоянную скорость течения воды, то скорость движения по течению v = vт.р. + vc.c.

Скорость движения против течения v = vc.c. vт.р.,

где vc.c. – собственная скорость или скорость в стоячей воде, например, в озере;

vm.p. – скорость течения реки.

• при составлении уравнений в задачах, связанных с равномерным движением, пользуются формулой

S = vt, где

S – путь,

v – скорость,

t – время.

При движении двух объектов с различными скоростями v1, и v2 рассматривают следующие ситуации:

• движение начинается из одного пункта А в противоположных направлениях


Если v1, > v2 , то скорость удаления v = v1 + v2 .

• движение начинается из одного пункта А в одном направлении


Если v1 > v2, то скорость удаления v = v1v2.

• движение начинается из разных пунктов навстречу друг другу


Если v1 > v2 , то скорость сближения v = v1 + v2.

• движение начинается из разных пунктов в одном направлении


Если v1 > v2, то скорость сближения v = v1v2.

• движение начинается из разных пунктов в одном направлении


Если v1 < v2, то скорость удаления v = v2v1.

Часто при решении задач на движение вводят систему координат tOs, где по оси абсцисс (оси Ot) откладывают время t, а по оси ординат (оси Os) - пройденное расстояние s. Тогда графиком зависимости s = vt является прямая AM, составляющая с осью Ot острый угол α, тангенс которого равен значению скорости v.


Если по условию задачи одновременно с маршрутом из А в В начинается встречный маршрут из В в А, то отсчет расстояния, пройденного от пункта В по направлению к точке О, ведется от точки В, отмеченной на той же оси Os. Графиком встречного маршрута является прямая BN, составляющая с прямой ВМ, параллельной Ot, острый угол β, тангенс которого равен значению скорости v движения по этому маршруту. Координаты точки Р пересечения графиков указывают время встречи и пройденные от А и от В расстояния до места встречи (соответственно АС и ВС).


Решение типовых задач на движение.

1. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал со скоростью, меньшей на 4 км/час, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

Решение.

Пусть х ч - время велосипедиста, тогда (х + 4) ч - время пешехода.

км/час - скорость велосипедиста.

Если скорость велосипедиста будет меньше на 4 км/час, то есть , то времени он затратит часов или в два раза меньше, чем (х + 4).

; ;

24x = 12x + 48 – 2x ²– 8x; 2x² + 20x – 48 = 0;

x² + 10x – 24 = 0, D = 25 + 24 = 49,

(не подходит по условию задачи),

.

Найдём скорость пешехода (км/час).

Ответ: 4 км/час.

2. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Через 2 часа они встретились. Прибыв в пункт А, катер сразу же отправился обратно. Сможет ли плот прибыть в пункт В раньше катера, если скорость течения равна 3 км/час, а расстояние АВ равно 16 км?

Решение: скорость течения, а значит, и скорость плота 3 км/час. За 2 часа плот проплыл 6 км, а катер 16 - 6 = 10 км. Скорость катера против течения реки 10:2 = 5 (км/час), тогда его собственная скорость 5 + 3 = 8 (км/час), а скорость по течению 8 + 3 = =11 (км/час).

Вычислим, сколько времени потребуется катеру проплыть от места встречи до пункта А и затем от пункта А до пункта В. А также сколько времени t2 потребуется плоту доплыть до пункта В. Если t2 окажется меньше , то плот прибудет в пункт В раньше катера. Время равно сумме времени, затраченного катером на путь от места встречи до пункта А, то есть ч, и времени, затраченного на путь из пункта А в пункт В, то есть ч.

Итак, (часа).

(часа).

Так как t2 > t, то плот не сможет прибыть в пункт В раньше катера.

Ответ: нет.

3. В направлении от А к В автомобиль ехал некоторое время с постоянной скоростью v1 = 60 км/ч. Остальную часть пути он проехал за такое же время, но со скоростью v2 = 40 км/ч. В противоположном направлении автомобиль ехал одну половину пути со скоростью v3 = 80 км/ч, а другую половину - со скоростью v4 = 45 км/ч. Какова средняя скорость рейса: а) из А в В? б) из В в А?

Решение.

а) Так как автомобиль в течение одинаковых промежутков времени ехал с каждой из указанных скоростей, то (км/ч).

б) Обратный рейс состоит из двух равных частей пути (предположим, что каждая из них равна 5 км), которые пройдены автомобилем в неравные промежутки времени; поэтому было бы неверно считать, что (км/ч). Пусть автомобиль ехал х часов со скоростью v3 и у часов со скоростью v4. Тогда v3x = v4y = s, откуда . Следовательно, средняя скорость (км/ч)

Ответ: а) 50 км/ч; б) 57,6 км/ч.

4. Пешеход, идущий из дома на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от дома до станции и с какой постоянной на всем пути скоростью пешеход пришел бы на станцию точно к отходу поезда?

Решение.

Составим следующую таблицу:

Пешеход пришел бы на станцию

Расстояние, км

Скорость, км/ч

Время, ч

Точно

x

v

x/v

С опозданием

x – 3

3

(х-3)/3

С опережением

x – 3

4

(х-3)/4

Уравнивая промежутки времени, записанные в первой и второй, в первой и третьей строках, получаем систему уравнений



Или , откуда х = 14.

Ответ: х = 14, v = 3,5 км/ч.

5. Расстояние между точками А и В равно 270 м. Из А в В равномерно движется тело; достигнув В, оно сразу же возвращается назад с той же скоростью. Второе тело, выходящее из В в А через 11 с после выхода первого из А, движется равномерно, но медленнее. На пути от В к А оно встречается с первым дважды: через 10 и 40 с после своего выхода из В. Найти скорость движения каждого тела.

Решение.

Введем систему координат tOs, где по оси ординат (оси Os) откладываем пройденное расстояние s = АВ = 270, а по оси абсцисс (оси Ot) - время t:

ВЕ = 11, ЕН=10, ЕК = 40.

Тогда АС – график движения первого тела из А в В, составляющий с осью Ot острый угол α, тангенс которого равен значению скорости .

CD - график движения первого тела из В в А, составляющий с осью Ot острый угол α, тангенс которого равен значению скорости .

EF - график движения второго тела из В в А, составляющий с осью Ot острый угол β, тангенс которого равен значению скорости v2.


Из треугольника AMN: tgα = . To есть MN = 21.

Из треугольника EHM: tgβ = . To есть МН = 10v2.

Из треугольника EKF: tgβ = . To есть KF = 40v2.

Из треугольника CKF: tgα = . To есть CK = .

HCM = MAN = α,

Из треугольника НСМ: tgα = . То есть

Так как HM + MN = 270, НС + СК = 30, получим систему уравнений:



Ответ: v, = 10 м/с, v2 = 6 м/с.


Практикум по решению задач.


1. Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно за 6 часов 15 минут (время в пути без остановок). Определите скорость течения реки, если расстояние между пунктами 60 км.

Ответ: 4 км/ч.

2. Из-за остановки на 20 минут после первого часа движения велосипедисту пришлось увеличить скорость на 4 км/ч, чтобы преодолеть весь путь (60 км) за намеченное время. Найдите скорость велосипедиста до остановки.

Ответ: 20 км/ч.

3. Автомобиль должен был пройти путь в 120 км за намеченное время. Но через час после выезда он был вынужден остановиться на 10 минут. После этой остановки он продолжил путь, увеличив скорость на 6 км/ч. Какова была первоначальная скорость автомобиля, если в пункт назначения он успел в назначенное время?

Ответ: 48 км/ч.

4. Автомобиль был задержан у шлагбаума на 12 минут, а затем на расстоянии 60 км/ч наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите первоначальную скорость автомобиля.

Ответ: 60 км/ч.

5. Расстояние между пристанями А и В по реке равно 36 км. Из А в В отплыл плот, а из В в А спустя 8 ч отошла лодка. В пункты назначения они прибыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12 км/ч?

Ответ: 3 км/ч.

6. Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Сколько километров в час проезжал мотоциклист?

Ответ: 60 км/ч.

7. Пассажир, едущий из А в В, одну половину затраченного на путь времени ехал на автобусе, а вторую - на автомашине. Если бы он ехал от А до В только на автобусе, то это заняло бы у него в полтора раза больше времени. Во сколько раз быстрее проходит путь от А до В машина, чем автобус?

Ответ: в 2 раза быстрее.

8. Расстояние между станциями А и В равно 83 км. Из А в В вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся путь до В проходил со скоростью на 6 км/ч больше прежней. Найти первоначальную скорость поезда (в км/ч), если известно, что оставшийся путь до В был на 13 км короче пройденного до задержки, и на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 минут меньше, чем прохождение пути до задержки.

Ответ: 64 км/ч.

9. Одновременно из пункта А в одном направлении выехали два мотоциклиста: один со скоростью 75 км/ч, другой со скоростью 60 км/ч. Через 20 минут вслед за ними из пункта А выехал третий мотоциклист. Найдите скорость третьего мотоциклиста (в км/ч), если известно, что он догнал первого мотоциклиста на 1 час 42 минуты позже, чем второго.

Ответ: 85 км/ч.

10. Расстояние между пристанями А и В по реке 50 км, а по шоссе - 40 км. Пассажир опоздал к отплытию теплохода из А на 1,5 часа. Он мгновенно садится в такси и достигает В одновременно с теплоходом. Выяснилось, что скорость такси была на 55 км/ч больше скорости теплохода. Какова скорость (в км/ч) теплохода?

Ответ: 25 км/ч.

11. Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Спустя 3 часа вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км. Определить скорость товарного поезда.

Ответ: 50 км/ч.

12. Путь от А до В автомобиль проезжает с определённой скоростью за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч проедет на 15 км больше, чем расстояние от А до В. Найти расстояние от А до В.

Ответ: 125 км.

13. По течению реки катер прошел за 7 ч столько же километров, сколько он проходит за 8 ч против течения. Собственная скорость катера 30 км/ч. Найти скорость течения реки.

Ответ: 2 км/ч.

14. Велосипедист едет из одного города в другой со скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч, то приехал бы в конечный пункт на 4 ч раньше. Какое расстояние преодолел велосипедист?

Ответ: 180 км.

15. Половину пути мотоциклист ехал с намеченной скоростью 45 км/ч, затем задержался на 10 минут, а поэтому, чтобы наверстать потерянное время, он увеличил скорость на 15 км/ч. Каков весь путь мотоциклиста?

Ответ: 60 км.

16. Расстояние между двумя пунктами поезд должен пройти за 10 ч. Пройдя первые 9 ч с намеченной скоростью, он снизил скорость на 7 км/ч и прибыл в конечный пункт с опозданием на 6 мин. Найти первоначальную скорость поезда.

Ответ: 77 км/ч.

17. Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч. Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд, скорость которого равна 70 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Киева произойдёт встреча, если расстояние от Москвы до Киева 872 км?

Ответ: 4 ч 16 мин.

18. От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч, а через полчаса после нее в том же направлении вышел пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки?

Ответ: 60 км.

19. Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком 10км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько шел пешком, то эти расстояния были бы равны. Сколько часов он шел пешком и сколько часов плыл по реке?

Ответ: 2 ч шел пешком и 6 ч плыл по реке.

20. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 ч после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин раньше, чем пешеход в В. Найти скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что они все время оставались неизменными.

Ответ: 4 км/ч и 16 км/ч.

21. Пункт А находится в поле на расстоянии 6 км от дороги. На дороге, которая является прямой линией, расположен пункт В так, что расстояние от А до В по прямой равно 10 км. Скорость движения автомобиля по дороге в два раза больше, чем по полю. На каком расстоянии от пункта В необходимо выехать на дорогу автомобилю, чтобы его путь из А в В занял наименьшее количество времени?

Ответ: км.

22. Группа студентов во время каникул совершила поход по Подмосковью. Первые 30 км они прошли пешком, 20% оставшейся части маршрута проплыли на плоту по реке, а затем опять шли пешком, пройдя расстояние в 1,5 раза больше того, которое проплыли по реке. Остальной путь проехали за 1 ч 30 мин на попутном грузовике, который шел со скоростью 40 км/ч. Какова длина всего маршрута?

Ответ: 150 км.

23. Над пунктом А вертолет был в 8 ч 30 мин. Пролетев по прямой s км, вертолет оказался над пунктом В. Продержавшись 5 мин в воздухе над пунктом В, вертолет пошел обратным курсом по той же трассе. К пункту А он вернулся в 10 ч 35 мин. От А к В он летел по ветру, а обратно против ветра. Скорость ветра все время была постоянной. Найти скорость ветра, если собственная скорость вертолета также все время постоянна и при безветрии равна v км/ч. При каком соотношении между заданными величинами задача имеет решение?

Ответ: км/ч, при v>s.

24. Бакенщик, инспектируя свой участок реки, в обыкновенной весельной лодке поднялся вверх по реке на 12,5 км, а затем по той же трассе вернулся на прежнее место. В этом рейсе он преодолевал каждые 3 км против течения и каждые 5 км по течению в среднем за одинаковые промежутки времени, а всего в пути находился ровно 8 ч. Найти скорость течения и время рейса бакенщика вверх по реке.

Ответ: 5/6 км/ч и 5 ч.

25. Мотоциклист остановился для заправки горючим на 12 мин. После чего, увеличив скорость движения на 15 км/ч, он наверстал потерянное время на расстоянии 60 км. С какой скоростью он двигался после остановки?

Ответ: 75 км/ч.


Задачи на совместную работу.

1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница