Решение тестовых задач по математике


НазваниеРешение тестовых задач по математике
страница2/7
Дата11.01.2013
Размер0.94 Mb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7

Текстовые задачи в зарубежной школе. Здесь мы сошлемся на весьма авторитетное мнение нашего соотечественника за рубежом. А.Л. Тоом имеет опыт преподавания математики в МГУ им. М.В. Ломоносова и ФМШ № 18 при МГУ, он автор статей и интересных задач, публиковавшихся в журнале «Квант» и в книжках для Заочной математической школы. Более 10 лет Андрей Леонович живет и работает за рубежом, преподавал в университетах Италии, США, Бразилии, где обратил внимание на совершенно непривычное для него отношение обучающих к использованию текстовых задач в процессе обучения. Мы рекомендуем слушателям курсов внимательно проработать упоминаемые нами статьи А.Л. Тоома, так как приводимые нами выдержки не позволяют показать со всей полнотой аргументацию автора, глубоко проанализировавшего теорию и практику использования текстовых задач в учебном процессе в России и за рубежом.

В одной из своих статей, опубликованных теперь и в России, А.Л. Тоом пишет: «Когда я приехал в США девять лет назад и начал преподавать, я обнаружил, что многие университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда я стал читать некоторую американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в России. Похоже, что многие считают, что задачи, решаемые на уроках математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни. Я полагаю, что этот подход берет свое начало у известного американского психолога и преподавателя Э. Торндайка, в чьей авторитетной книге «Психология алгебры» имеется глава, названная «Нереальные и бесполезные задачи», начинающаяся так: «В предыдущей главе было показано, что около половины задач, дающихся в стандартных курсах, ненастоящие, поскольку в реальной жизни ответ никогда не понадобится. Очевидно, не стоит, разве что для объема, таким образом соединять алгебраическую работу с никчемностью».

В той же статье А.Л. Тоом приводит задачу, которая «может использоваться чуть ли не повсюду на земном шаре без всяких ограничений:

Салли на пять лет старше своего брата Билла. Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Биллу. Сколько лет Салли сейчас?

Но она объявляется негодной по следующей причине: «Прежде всего, кто бы мог задать подобный вопрос? Кому это может понадобиться? Если Билл и Салли сами не знают, это какая-то семья идиотов»

Можно предположить, что если бы обличитель «негодной» для школы задачи сумел ее решить, то, возможно, малые дети (Биллу всего год) не вызвали бы у него столь бурной реакции.

Вот еще один пример. А.Л. Тоом приводит высказывание Залмана Усыскина о традиционных текстовых задачах, опубликованное в главном американском журнале для учителей математики в старших классах «Учителе математики» (Mathematics teacher): «Алгебра имеет так много подлинных приложений, что фальшивые традиционные текстовые задачи больше не нужны». <…> Почему Усыскин называет традиционные текстовые задачи фальшивыми? Он приводит задачу:

У одного человека в кошельке 20 монет, одни по 5 центов, другие по 10 центов на общую сумму в доллар и 75 центов. Сколько у него монет по 5 центов? Сколько по 10 центов?

Затем Усыскин пишет: «Поскольку монеты были сосчитаны, почему бы не сосчитать отдельно монеты в 5 центов и отдельно в 10 центов?».

В России (и, думаю, в огромном большинстве стран) этот странный аргумент был бы оставлен без внимания как неудачная шутка, но в Америке к нему относятся с большим почтением»

Как видим, не только в России наблюдается недопонимание вопроса «зачем учить решению текстовых задач?» Обратим внимание и на другие аргументы зарубежных противников использования текстовых задач в процессе обучения. Вот обычная для нашей начальной школы задача.

Самолёт взлетает и направляется на восток со скоростью 350 миль в час. В то же время взлетает другой самолёт и направляется на запад со скоростью 400 миль в час. Когда расстояние между ними достигнет 2000 миль?

А.Л. Тоом отмечает, что эта задача несколько лет назад была упомянута в «Учителе математики» со следующим уничижительным комментарием: «Всякий нормальный ученик должен спросить: А кому это надо? Никому нет дела кроме учителя алгебры, задающего такие задачи, и ученика, которому нужна отметка. Наша программа и без того слишком перегружена, чтобы включать такие причуды».

Далее А.Л. Тоом приводит задачу, которую специалисты считают пригодной для обучения:

Игрок ударил бейсбольный мяч, когда он был в 3 футах от земли. Мяч прошёл на 4 фута выше другого игрока 6 футов ростом, находящегося в 60 футах от первого. Затем мяч был пойман третьим игроком на расстоянии 300 футов, в 5 футах над землёй. На каком расстоянии от первого игрока мяч достиг максимальной высоты, и какова эта максимальная высота?

Очевидно, что если задаваться вопросом «а кому это надо?», то и эту задачу надо считать негодной. Здесь дело в чем-то другом, и А.Л. Тоом находит разгадку: «Эта задача труднее, чем предыдущая, но я не считаю, что она лучше. Уж во всяком случае, она не более реалистична. <…> Почему такая заурядная, даже несколько громоздкая задача была выбрана для такой обязывающей цели? Подождите ... это задача про бейсбол… многие дети любят играть в бейсбол... у меня есть догадка: вероятно, автор надеется убедить их, что алгебру важно изучать, потому что она им пригодится в игре в бейсбол! Другие задачи из той же статьи подтверждают мою догадку: все они на такие привлекательные темы, как кругосветное путешествие, марширующий оркестр и рок-музыка. Очевидно, по замыслу автора, это делает их интересными. В этом пункте я заявляю протест. Для меня математическая задача интересна и педагогически полезна благодаря её внутренней математической структуре. Я решительно возражаю против попытки привлечь учеников к математике, делая вид, что она помогает играть в бейсбол, организовывать марширующие оркестры или наслаждаться рок-музыкой. Это лживое обещание».

Далее А.Л. Тоом приводит очень важное наблюдение: «Создаётся впечатление, что текстовые задачи почти всегда преподавались настолько плохо, что большинство учащихся не могли отделить сами текстовые задачи от отвратной манеры преподавания. Ральф Рейми — один из тех, кто сумел это сделать: «Я был послушным учеником и делал то, что мне велели, а велели мне помещать определённые числа в определённые клеточки таблицы и делали мы это для настолько ограниченного круга задач, что их можно было все запомнить. Это шло с трудом, и впоследствии я понял, как легки были эти задачи, но поскольку мне говорили, как их делать, и поскольку меня хвалили, я это и делал, без малейшего проблеска понимания. Понимание не возникло даже, как это бывает в изучении иностранных языков, когда составляешь из слов предложения и спрягаешь глаголы, постепенно овладевая языком. С алгеброй у меня так не получилось, и когда я одолел её впоследствии и увидел, какими идиотскими были мои школьные упражнения, это произошло не благодаря таблицам, которые я заполнял раньше. Беда была не в задачах, не в идее «типов». Беда была в преподавании»

Как видим, практика обучения решению задач без опоры на понимание учащимся смысла выполняемых им действий была характерна не только России. Отметим, что А.Л. Тоом не ограничивается критикой противников применения текстовых задач в процессе обучения. Размышляя над их «аргументами», он ищет и находит убедительные аргументы в пользу текстовых задач, на которые стоит обратить внимание. Развивая известные в России взгляды Дж. Пойа в вопросе «зачем учить решению текстовых задач?», он рассматривает влияние обучения решению текстовых задач на развитие воображения учащихся, на формирование первых абстракций и на развитие абстрактного мышления так необходимого для обучения математике. К некоторым из перечисленных мыслей А.Л. Тоома мы еще вернемся в следующих лекциях.

К каким же результатам приводит работа с текстовыми задачами в зарубежной школе? Дискуссии специалистов, которых мы кратко коснулись, и сведения о том, что большинство студентов первых курсов американских университетов не умеет решать простейшие задачи в несколько действий, многочисленные примеры из статей А.Л. Тоома (и других источников) говорят об одном: в зарубежной массовой школе никогда не было того опыта использования текстовых задач в процессе обучения, какой был когда-то в России. Опыт обучения решению текстовых задач в зарубежных странах просто иной.

Например, учащиеся шестых классов массовых школ Израиля решают, по сути, не задачи, а облеченные в словесную форму примеры на выполнение арифметических действий. «В отдельных случаях для решения нужно выполнить два (и страшно подумать!) три действия, — пишет в частном письме В. Романовский, — но израильский учебник для 6 класса ни в какое сравнение не идет с учебником серии «МГУ–школе». Его, пожалуй, можно сравнить с учебником Л.Г. Петерсон для 3 класса, однако и этот учебник, на мой взгляд, гораздо предпочтительней».

Вот пример использования текстовых задач во Франции. Правда, обсуждаемая здесь задача требует для своего решения привлечения геометрических фактов, но интересно отношение преподавателей университета (!) к возможности включения такого типа задач в контрольную работу.

«В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая. <…>

Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 ч и 45 мин. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит еще 1 ч и 45 мин с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления.

Перед контрольной на протяжении двух недель среди преподавателей университета шла бурная дискуссия — не слишком ли сложна эта задача для наших студентов. В конце концов, решили рискнуть выставить ее на контрольную, но с условием, что те, кто ее решит, получат дополнительно несколько премиальных очков. Затем в помощь преподавателям, которые будут проверять студенческие работы, автор этой задачи дал ее решение. Решение занимало половину страницы и было неправильным. Когда я это заметил и поднял было визг, коллеги тут же успокоили меня очень простым аргументом: «Чего ты нервничаешь? Все равно эту задачу никто не решит...» И они оказались правы. Из полутора сотен студентов, писавших контрольную, ее решили только два человека (и это были китайцы)»

Рассмотрим последний и, быть может, не самый убедительный аргумент, подтверждающий наши выводы. Ниже приведены «правила» автор которых неизвестен (перевод А.Л. Тоома). Они были посланы на один американский дискуссионный лист под названием math-teach. Все дискуссии на этом листе доступны на Интернете. Эти «правила» можно посчитать шуткой, но мы помним, что в каждой шутке есть доля правды.

Правило 1. Насколько возможно, избегай читать условие задачи. Чтение условия только отнимает время и запутывает.

Правило 2. Выпиши все числа из условия в том порядке, в каком они там даны. Не забудь о числах, написанных словами.

Правило 3. Если правило 2 дало тебе три числа или больше, то лучше всего сложить их все.

Правило 4. Если чисел только два, и они примерно одной величины, то лучше всего вычесть одно из другого.

Правило 5. Если чисел только два и одно много меньше другого, то попробуй разделить, а если не разделится, то перемножь.

Правило 6. Если у задачи такой вид, как будто надо применить формулу, выбери формулу с достаточным числом переменных, чтобы использовать все данные.

Правило 7. Если с правилами 1-6 ничего хорошего не получается, сделай последнюю отчаянную попытку. Возьми все числа, полученные с помощью правила 2, и заполни страницы две всевозможными операциями с ними. Затем обведи кружком пять-шесть полученных чисел на каждой странице на случай, если какое-нибудь из них окажется ответом. Может и получишь что-нибудь за то, что старался.

Публикуя «правила» 1-7 в лекции, посвященной использованию текстовых задач в процессе обучения в школе, мы выражаем надежду, что умение школьников (и учителей) России решать текстовые задачи еще не доведено до такого отчаянного состояния, что нам не остается ничего другого, как поместить «правила» в виде плаката на классной стене и при столкновении с мало-мальски сложной задачей задаваться вопросом: «а кому это надо?» Мы очень надеемся, что такое печальное событие не произойдет, что уникальный российский опыт развития учащихся в процессе обучения решению текстовых задач не будет утрачен окончательно, что интерес учительства к важному резерву повышения результативности обучения математике и другим предметам удастся возродить.

Сформулируем несколько положений, к аргументации которых мы еще вернемся при освещении методики работы с соответствующим задачным материалом.

1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

5. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.


Текстовые задачи и техника их решения





Арифметический метод.


Первым этапом - решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана её решения. (Этот этап решения задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью).

Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. (Этот этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве случаев носит тренировочный характер).

Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится по условию задачи. (Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся).


Алгебраический метод.


Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

Общие указания.

1. Решение задачи с помощью уравнения (системы уравнений) обычно производят в такой последовательности:

• вводят переменные, т.е. обозначают буквами величины, которые требуется найти по условию задачи, либо те, которые необходимы для отыскания искомых величин;

• составляют уравнение (систему уравнений), т.е. как бы «переводят» текст задачи на язык алгебры, формируя равенство (систему равенств) алгебраических выражений;

• решают составленное уравнение (систему уравнений) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

Отличными от тех, которые формируются при арифметическом решении задачи, являются следующие умения и навыки:

1. Введение одного и более неизвестных.

2. Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.

3. Составление «математической модели» (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств).

4. Решение «математической модели» (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств).

5. Выбор значений неизвестных по условию задачи.

6. Составление уравнений с параметром по условию текстовой задачи.

7. Решение уравнений с параметром.

8. Исследовательская работа.

В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет формирование у учащихся не отдельных специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее приложение. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач алгебраическим методом.

Комбинированный метод.

Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решения, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть -арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.

Совет 1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде - это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи. Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач.

Совет 2. Выбор неизвестных.

В задачах «на движение» – это обычно скорость, время, путь. В задачах «на работу»– производительность и т.д.

Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы они соответствовали условию задачи, и можно было составить соответствующую «математическую модель» (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств). Кроме того, обращайте особое внимание на единицы измерения - они в течение всего решения должны быть одинаковыми.

Совет 3. Составление и решение «математической модели».

При составлении «математической модели» (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый «знак» полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).

Если кажется, что получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более простая модель.

Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.

1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница