Курсовая работа по курсу "Математическая статистика"


Скачать 85.67 Kb.
НазваниеКурсовая работа по курсу "Математическая статистика"
Кан Ю С
Дата01.11.2012
Размер85.67 Kb.
ТипКурсовая
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ


Кафедра 804 "Теория вероятности и математическая статистика"


КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

"Математическая статистика"


Выполнил:

студент группы 08-304


Принял:

профессор каф. 804

Кан Ю. С.



Дата:


Оценка:


Подпись:






2003 г.

Задание 1.


Дан случайный вектор , где , k = 15.

Методом Монте-Карло найти вероятность .


Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q определяется, исходя из соотношения:

,

где n – объем выборки, m – количество реализаций случайной величины, попавших в область Q.

Для того чтобы смоделировать нормальный случайный вектор с ковариационной матрицей K, задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K.





Чтобы найти матрицу преобразования , приводим квадратичную форму к сумме квадратов:





, где

,

.

Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных стандартных нормальных случайных величин, с помощью преобразования получаем гауссовский вектор с ковариационной матрицей K.

Вектор моделируется с помощью датчика случайных чисел. Для каждой полученной реализации случайного вектора выполняется проверка на попадание в заданный шар. Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в шар, к объему выборки.

На рис. 1 показан результат статистического испытания при объеме выборки = 100000, k = 10. Полученная вероятность: P = 0,73924.





Рис. 1 (n = 100000, k = 10)


Задание 2.


Имеются 50 опытов наблюдения X и Y:

,

где .

Оценить параметры a и b методом наименьших квадратов.


Решение 1:

Для нахождения оценок и применим метод максимального правдоподобия.

,



Составляем функцию правдоподобия:

,

где n – объем выборки (n = 50).

Получаем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Задача максимизации сводится к минимизации суммы квадратов:



Распишем сумму квадратов:



.

Введем новые обозначения:











С учетом новых обозначений получаем:

J(a,b) = a2 + nb2 + 2 ab – 2 a – 2 b +

Берем частные производные:

2 a + 2 b – 2,

2nb + 2 a – 2.

Решаем систему:



a + b = ,

nb + a = .

Получаем:

,

.


Решение 2:

Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему уравнений:

,

где , ,



Получаем:



т.е. то же самое в виде системы:



nb + a = .

a + b = ,

Как видно, это та же система, что и в решении 1.

Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X и Y, получаем значения коэффициентов:

 = 46,5000961858679,

 = 46,1733376283488,

 = 147,911922402037,

 = 146,973081745395,

 = 471,011023261011.

Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров:

a = 3,15684427413119,

b = 0,0242209047163106.


На рис. 2 представлена прямая .





Рис. 2. Результаты оценки параметров.


Задание 2а.


Построить доверительные интервалы уровня 0.95 для параметров a и b.


Основная МНК-теорема:

Пусть в условия предыдущей задачи

,

.

Тогда

,

.


Следствие:

,

,

где - (i, i)-й элемент матрицы , - квантиль уровня для распределения Стьюдента с степенями свободы.


С учетом условия задачи () и всего вышесказанного, получаем следующее:

Матрица ,

соответственно,

 0,240898564361575

 0,259030178559918

 0,718538058549758

 2.011


Итого – доверительные интервалы уровня 0.95:

для a : ( 3,13736861423897 ; 3,17631993402341 )

для b : ( 0,00610850355088199 ; 0,0423333058817393 )

Задание 3.


Рассматривая как выборку, построить гистограмму (10 интервалов одинаковой длины). Пользуясь критерием и полученной гистограммой, проверить гипотезу о нормальном законе распределения с уровнем значения 0.01 случайной величины .


Минимальное и максимальное выборочные значения равны -0,2037977 и 0,2390410, соответственно. Разобьем получившийся промежуток на 10 интервалов одинаковой длины. В таблице 1 представлены характеристики получившегося разбиения.




Левый конец

Правый конец

Кол-во элементов выборки, попавших в интервал

1

-0,203797779795623

-0,159513896959864

6

2

-0,159513896959864

-0,115230014124104

1

3

-0,115230014124104

-0,070946131288345

6

4

-0,070946131288345

-0,026662248452585

2

5

-0,026662248452585

0,017621634383174

7

6

0,017621634383174

0,061905517218934

16

7

0,061905517218934

0,106189400054693

6

8

0,106189400054693

0,150473282890453

4

9

0,150473282890453

0,194757165726212

0

10

0,194757165726212

0,239041048561972

2

Таблица 1. Данные для гистограммы.




Рис. 3. Гистограмма.

Прежде чем проверять гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины , оценим параметры закона распределения в предположении, что распределение гауссовское. Из условия предыдущей задачи



Значит, мат. ожидание равно нулю, а дисперсия оценивается выборочной дисперсией:



Подставляя выборочные данные, получаем: 0,010326

Таким образом, выдвигаемая гипотеза:

Для каждого интервала вычисляем вероятность, а также частоту попадания выборочных точек. Полученные результаты представлены в таблице 2.


(k)





Вероятность попадания в k-интервал:



Частота попадания выборочных точек в k-интервал

,

1

0,0222

0,0375

0,0153

0,12

2

0,0375

0,1288

0,0913

0,02

3

0,1288

0,2427

0,1139

0,12

4

0,2427

0,3964

0,1537

0,04

5

0,3964

0,5688

0,1724

0,14

6

0,5688

0,7287

0,1599

0,32

7

0,7287

0,8519

0,1232

0,12

8

0,8519

0,9307

0,0788

0,08

9

0,9307

0,9723

0,0416

0,00

10

0,9723

0,9907

0,0184

0,04

Таблица 2. Вероятностные и частотные характеристики.


На основании полученных результатов вычисляем статистику:

54,5

Если гипотеза верна, то статистика

Используя закон распределения , находим критическое значение для заданного уровня p = 0.01:

0.99

Из таблицы распределения получаем: 20.8

, значит гипотеза отвергается.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница