Если одно и то же дело поручено двум одинаково не сведущим в нем


Скачать 321.63 Kb.
НазваниеЕсли одно и то же дело поручено двум одинаково не сведущим в нем
страница1/3
Дата26.10.2012
Размер321.63 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3
Преподавание планиметрии в школьном курсе.

Токарева Н.Е., лицей № 1557

Григорьева Т.А., лицей № 1557.


«Если одно и то же дело поручено

двум одинаково не сведущим в нем

людям и один из них математик,

то математик его выполнит лучше»,

Введение

Овладение практически любой современной профессией требует определенных математических знаний. Представление о роли математики в современном мире, математические знания стали необходимым компонентом общей культуры. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной деятельности в информационном мире требуется достаточно прочная математическая подготовка.

Роль и место математики в науке и жизнедеятельности общества, ценность математического образования, гуманизация и гуманитаризация образования, понимание предмета математики, структура личности обуславливают цели математического образования. Выделяют три группы целей, соотнося их с общеобразовательными, воспитательными и практическими функциями.

  • Математическое образование включает в себя овладение системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление о предмете математике, ее языке и символике, периодах развития, математическом моделировании, специальных математических приемах, основных общенаучных методах познания.

  • Формирование мировоззрения учащихся, логической и эвристической составляющих мышления, воспитания нравственности, культуры общения, самостоятельности, активности, воспитания трудолюбия, ответственности за принятие решений, стремления к самореализации.

  • Конкретизация отдельных составляющих целей важна для построения совокупности целей урока, адекватности предметному содержанию учебного материала. Трансформация целей образования в действия позволит осуществить диагностику и управление процессом усвоения знаний, умений, развития и воспитания школьника.

На уровне реального учебного процесса цели обучения формируются уже с учетом особенностей учащихся, возможностей дифференциации их обучения.

В процессе математической деятельности учащихся в арсенал приемов и методов мышления включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Объекты математических умозаключений и правил их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умения действовать по заданному алгоритму и конструировать новые в ходе решения задач, основа учебной деятельности на уроках математики. Развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Содержание школьного курса математики и методика его преподавания — извечный предмет незатухающих споров, которые включают в себя:

  • возражения против проведенного сокращения школьного курса математики;

  • расценивание программы курса как перегруженную лишними или слишком специальными сведениями (например, множеством подлежащих заучиванию формул);

  • разговоры о явной недостаточности выделенных для математики часов (как на основной инструмент развития логического мышления школьников и т.д.);

  • требования школьного курса математики и приемных экзаменов;

  • квалификацию преподавателей математики, ибо любая реформа образования, любая перестройка программы обречена на успех только в том случае, если к этому заблаговременно и всесторонне подготовлены педагоги.

В настоящее время в арсенале учителя довольно много учебников для каждой параллели. При выборе той или иной системы каждый учитель, естественно, исходит из собственных критериев и специфики учебного заведения. Однако необходимо учитывать возможность осуществления преемственных связей между курсами, а также проанализировать возможность организации дифференцированного обучения. Учитель в зависимости от конкретных условий работы, от уровня подготовки учеников может организовать полноценный учебный процесс. Учащийся получает реальную возможность, обучаясь в одном классе и по одной программе, выбирать тот уровень усвоения, который соответствует их потребностям, интересам, способностям. Обязательный минимум по математике определяет тот перечень вопросов, который должен быть представлен в программе и учебниках но математике независимо от их уровня и направленности. Иными словами, конкретные программы и учебники, используемые в том или ином учреждении, могут расширять этот уровень, но не сокращать или урезать его.

Выбор уровня математической подготовки должен определяться потребностями учащихся, поэтому в учебных заведениях гуманитарных, юридических и других профилей целесообразно использовать углубленную программу но математике, так как их выпускники идут так же и в технические вузы, помимо этого серьезные занятия математикой необходимы для формирования и развития логического мышления.

Сущность геометрии противоречива: «…в ней непосредственно изучаются идеальные геометрические фигуры, которых нет в действительности, но ее выводы применимы к реальным вещам, к практическим задачам». Задача любого учителя - приблизить учеников к их пониманию, не заслонив при этом от школьников самой геометрии многочисленными опросами, проверками, контрольными работами, позволить детям самим выбирать уровень познания геометрии. Всякий выбор достоин стоящей перед учеником цели, определенной порой интуитивно, но свободно. Часто упорное следование поставленной цели, настойчивость в ее достижении являются совершенно бессмысленными, особенно если цель учителя не является целью ученика. Наверное, стоит попробовать поучиться так организовать деятельность учеников на занятиях геометрии, чтобы они не были скованы нашими целями, нашими вопросами, чтобы они были открыты для всяких восприятий. Ребенок идет в школу с массой вопросов, но школа сама приготовила для него в несколько раз больше вопросов. Вот на свои – то вопросы она же и отвечает, да еще гневается, когда ее ответы плохо воспринимаются.

Один из путей познания состоит из таких этапов: мысль, цепочка размышлений, наконец, строго логически обоснованный, желанный результат поиска. Второй, более открытый путь хотелось бы реализовать через щедрый набор задач, предложенных по каждой теме. При использовании этого пути мысль не тормозит фантазии, не закрывает интуитивного поиска, нет погони за мыслями, нет быстрого скачка к цели, зато царствует спокойное, неторопливое восприятие, наблюдение, появляется чувствительность, казалось бы к постороннему, но порой именно это постороннее и обогащает поиск, приводит к цели. Как часто на уроке мы торопим детей, подгоняем как хлыстом словами: «Думайте. Думайте». А может быть действительно, тот, кто чрезмерно ищет, может и не успеть найти?

Наша с вами задача вести поиск путей, ведущих к познанию геометрии. Будем думать о том, как помочь детям открыть для себя истины, истины геометрии. Чем учитель должен при этом руководствоваться, какую ему избрать тактику и стратегию? Что вообще на уроке делать учителю? Ратовать ли за знания, умения, навыки, утверждая, что знания – сила, или всеми силами стараться так организовать учебный процесс, чтобы знания не заслонили познания, не отвратили душу ребенка от познания.

Может быть, мудрость учителя заключается в знании секретов открытия, секретов познания и, в частности, тайн геометрии, в умении создать такую атмосферу на занятиях, которая способствует овладению этими приемами восприятия и познания. Логика учителя и логика ученика, в каких они должны быть соотношениях на уроке? Чего больше? Возможно, когда учитель предлагает не серию четко продуманных вопросов, а последовательность заданий, размышляя над которыми ученик, его мысль проделывает всю работу, необходимую для момента предваряющего открытие. Тогда логика учителя находится с логикой ученика в необходимом соотношении. А может быть основой поиска выбрать интуицию, ее раскрепощать, ее стимулировать, на нее опираться? Или еще чего – то?

Пожалуй, среди всех учебников и среди всех уроков, учебник для 7 класса самый важный и первый урок – он самый ответственный, ибо именно они вводят в изучение систематического курса. От первых же уроков, от чтения первых же страниц учебника зависит, окажется ли процесс обучения успешным, удастся ли развить у школьников устойчивый интерес к предмету. Ни одному школьнику не ставиться преграда для изучения курса геометрии на любом уровне. Единственной преградой может быть не сложность материала, не трудность изложения, а отсутствие интереса к чтению дальнейших страниц учебника. Однако, изучив теорию даже на самом первом (наглядном) уровне, ученик может решить любую задачу по данной теме, так как знаний для ее решения у него будет достаточно.

Перейдем к характеристике уровней овладения учебным материалом и расскажем учителю, как он сможет обнаружить материал, относящийся к каждому из них.

Первый уровень – общеобразовательный, гуманитарный. Он включает в себя содержание, которым должен овладеть каждый ученик. В геометрии изучение такого материала идет на наглядном уровне, поэтому мы и называем первый уровень наглядным. В него входят определения понятий, сопровождаемые большим количеством иллюстраций, формулировки теорем, объяснение их смысла на чертежах, простейшие логические выводы.

На втором уровне происходит расширение материала первого уровня, решаются задачи прикладного характера, показывается, как геометрические знания применяются к познанию мира. Этот уровень мы называем прикладным. Предполагается, что на этом уровне учащиеся овладевают доказательствами большинства теорем.

Наконец третий уровень – это существенное углубление материала первого уровня, дается его достаточно полное логическое обоснование. Этот углубленный уровень включает самые трудные доказательства теорем, теоретические задачи. Третий уровень имеет и проблемный характер.

Мы выделили первый уровень усвоения – наглядно – практический, на котором школьники как физики, добывают информацию на опыте. Ученик должен представить себе объект, описать его, решить касающуюся его простую задачу. И не беда, если при этом он не сможет безошибочно произнести определение. На этом уровне существенно наглядно–оперативное знание предмета, содержащее наглядные представления и умение правильно ими оперировать.

При изучении геометрии необходимо предлагать ученикам самостоятельно сформулировать определение того или иного понятия. Делается это совсем не для того, чтобы ребята его потом заучили, а для того, чтобы участвуя в этом процессе, они глубже вникли в смысл понятия, познали структуру самого определения и несколько формулировок теорем. Это будет способствовать более глубокому усвоению соответствующего учебного материала. Открытия ребят – отличный стимул для познания.

Общепризнано, что курс геометрии должен учить логическому мышлению. Однако часто многие учащиеся не столько усваивают логику формулировок и доказательств, сколько формально заучивают их. Одно из первых средств преодоления этой опасности – уменьшение количества формулировок и доказательств, которые ученик должен знать (выучить, запомнить). Если мы хотим учить логически мыслить, то надо учить этому, а не механическому запоминанию готовых рассуждений. Поэтому формулировки должны рассматриваться скорее как упражнения на развитие логического мышления, а не как постулаты, которые непременно надо знать наизусть. Полезно, чтобы учащиеся разбирали, а не бездумно заучивали - как можно больше доказательств и решали возможно большее количество задач на доказательство: ученику гораздо приятнее и полезнее, если он сообразит сам, самостоятельно сделает хотя бы маленький вывод, а не заучит чужие рассуждения (не считая конечно тех, которые особенно поучительны, остроумны и изящны).

Логика геометрии заключается не только в отдельных формулировках, но во всей их системе в целом. Смысл каждого определения, каждой теоремы, доказательства определяется в конечном счете только этой системой. Которая и делает геометрию целостной теорией, а не собранием отдельных определений и утверждений. Поэтому мы предлагаем коллегам попытаться не спрашивать у учеников на оценку ни одного доказательства теорем на протяжении определенного времени, а вынести этот опрос на конец довольно обширной темы в качестве проводимого теоретического зачета, что и делаем мы в лицее. Ребята должны привыкнуть к самим понятиям и терминам « теорема», «дано», «доказать», « доказательство», понять их смысл. Конечно, теоремы надо доказывать. Может быть не один раз разбирать их доказательства в классе: фронтально в парах, на разных чертежах. Вполне допустимо, что с нашей точки зрения, до доказательства теоремы, сразу после разбора ее формулировки приступить к решению задач. А когда учащиеся привыкнут к формулировке, поймут ее смысл, можно приступить к разбору доказательства. К этому моменту у учащихся уже в какой-то степени сформируется вкус к поиску истины. Уважение к ней.

Конечно, если преподавание полностью замыкается лишь на собственно геометрическом знании, то и развитие навыков логического мышления и элементов научного мировоззрения будет осуществляться в рамках только этой науки. Поэтому педагог должен постоянно обращать внимание учащихся на связь геометрии с другими науками и практикой и показывать всеобщее (а не для одной лишь геометрии) значение требования доказательности и точности в установлении истины. Особенно этот момент важен для тех учеников, у которых недостаточная мотивация для изучения геометрии как науки, в отличие от мотивированных и заинтересованных детей, которых не нужно лишний раз наталкивать и стимулировать для решения сложных, нестандартных задач, рассматривать различные варианты решения. Так же практика показывает, что учащиеся любят слушать рассказы учителя об истории возникновения предмета. Можно на первом уроке более сильным ученикам, заинтересованным предложить просто порешать красивые, интересные, необычные по форме и методам решения задач. Задачи, которые позволили бы ученикам открыть для себя что–то новое. Для немотивированных учащихся важен процесс, они хотят сами, своим руками строить, рисовать геометрические фигуры, и надо оправдать их ожидания особенно на самых первых уроках, предложить нарисовать им орнаменты, включающие в себя различные геометрические фигуры, и тогда эмоциональное начало этих уроков будет обеспечено. Первый урок важен, он, как камертон, задает тональность всей работе.

Одно хочется подчеркнуть: сейчас, когда нет обязательного экзамена по геометрии, может быть не стоит погоней за знаниями отвращать ребенка от такой прекрасной, несказанно полезной науки, какой является геометрия? Может быть, раз в жизни поработать спокойно. Чтобы над тобой не висел дамоклов меч отметки, оценки. Чтобы на уроке учитель и ученик были равны в познании, в потенциальных возможностях. Чтобы была ГЕОМЕТРИЯ.

Какие задачи из элементарной математики считаются самыми трудными? Наверное, большинство читателей ответит: геометрические. Почему? Да потому, что в алгебре, тригонометрии, началах математического анализа разработаны целые серии алгоритмов решения типовых задач. Если есть алгоритм, значит, есть программа действий, а потому трудности, если они имеют место, носят чаще всего технический, а не принципиальный характер.

Иное дело — задачи геометрические. Алгоритмов их решения, как правило, нет, да и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из обширного списка теорем не просто. Поэтому основной рецепт носит скорее философский, чем дидактический характер: хочешь научиться решать геометрические задачи — решай их! Тем не менее, есть какие-то общие положения, которые полезно знать при решении геометрических задач. Об этих общих положениях мы и хотели бы поговорить.

При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: геометрический — когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический — когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный — когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других — алгебраическим.

Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения применять их. Не рассматривая здесь всех теорем планиметрии, обратим внимание на те из них, которые, с одной стороны, активно используются при решении задач, но, с другой стороны, как показывает опыт, не всегда находятся «на первом уровне памяти» у учащихся. Эти теоремы надо полюбить, сделать их своими помощниками, чтобы и ученики отдавали им предпочтение.

Озвучим эти теоремы и покажем на конкретных задачах как они работают.

При решении задач, как правило, фиксируются отдельные этапы рассуждений. Это сделано, для удобства, чтобы легче было следить за ходом рассуждений. И еще хотелось бы заметить: задачи будут разной трудности, но такие, которые наиболее полезны учителю в методическом плане.


ТРЕУГОЛЬНИКИ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.


Решая задачи о треугольниках и четырехугольниках, обратим внимание на следующие теоремы:

ТЕОРЕМА 1. Равенство углов со взаимно перпендикулярными сторонами:

Если и оба острые или оба тупые и , , то .

ТЕОРЕМА 2. Свойства средней линии трапеции:

А) средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции;

Б) средняя линия равна полусумме оснований трапеции;

В) средняя линия (и только она) делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями трапеции.

Эти свойства справедливы и для средней линии треугольника, если считать треугольник « вырожденной « трапецией, одно из оснований которой имеет длину, равную нулю.

ТЕОРЕМА 3. О точках пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника:

А) три медианы треугольника пересекаются в одной точке (ее называют центром тяжести треугольника) и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершины;

Б) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

В) три высоты пересекаются в одной точке (ее называют ортоцентром треугольника).

ТЕОРЕМА 4. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике:

в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине.

Верна и обратная теорема: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный

ТЕОРЕМА 5. свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника:

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, к которой она проведена, на части, пропорциональные противолежащим сторонам:

ТЕОРЕМА 6. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

Если a и b – катеты, c – гипотенуза, h – высота, и - проекции катетов на гипотенузу, то : а) ; б) ; в) ; г) ; д)

ТЕОРЕМА 7 .Определение вида треугольника по его сторонам:

Пусть a, b, c – стороны треугольника, причем с – наибольшая сторона ; тогда:

А) если , то треугольник остроугольный;

Б) если , то треугольник прямоугольный;

В) если , то треугольник тупоугольный.

ТЕОРЕМА 8. Метрические соотношения в параллелограмме:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

.

При решении геометрических задач часто приходиться устанавливать равенство двух отрезков( или углов ). Укажем три основных пути геометрического доказательства равенства двух отрезков:

1) рассматривают отрезки как стороны двух треугольников и доказывают, что эти треугольники равны;

2) представляют отрезки в качестве сторон треугольника и доказывают, что этот треугольник равнобедренный;

3) заменяют отрезок а равным ему отрезком , а отрезок bравным ему отрезком и доказывают равенство отрезков и .

Задача 1. Две взаимно перпендикулярные прямые пересекают стороны AB, BC, CD, AD квадрата ABCD в точках E, F, K, L соответственно. Доказать, что EK = FL ( см. рис. к задаче №1).

Р
Рис. к задаче № 1
ешение:
1. Используя первый из указанных выше путей равенства двух отрезков, проведем отрезки и - тогда интересующие нас отрезки EK и FL станут сторонами двух прямоугольных треугольников EPK и FML ( см. рис. к задаче №1) .

2
Рис. к задаче № 1
. Имеем: PK = FM ( подробнее : PK = AD, AD = AB, AB = FM, значит, PK = FM ), ( как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, теорема 1). Значит, ( по катету и острому углу). Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство их гипотенуз, т.е. отрезков EK и FL. ■

Отметим, что при решении геометрических задач часто приходиться делать дополнительные построения, например такие: проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке (так мы сделали в задаче 1) ; удвоение медианы треугольника с тем, чтобы достроить треугольник до параллелограмма ( так мы сделаем в задаче 2), проведение вспомогательной биссектрисы. Есть полезные дополнительные построения, связанные с окружностью.

Задача 2. Стороны равны a, b, c . Вычислить медиану , проведенную к стороне с.( см. рис. к задаче 2).

Р
Рис. к задаче № 2
ешение:
Удвоим медиану, достроив до параллелограмма АСВР, и применим к этому параллелограмму теорему 8. Получим: , т.е. , откуда находим:

Задача 3. Доказать, что в любом треугольнике сумма медиан больше, чем ¾ периметра, но меньше периметра.

Решение: 1. Рассмотрим ( см. рис. к задаче 3) Имеем: ; . Так как АМ + МС >АС, то

(1)

П
Рис. к задаче № 3
роведя аналогичные рассуждения для треугольников АМВ и ВМС, получим :

(2)

(3)

Сложив неравенства (1), (2), (3), получим : ,

т.е. мы доказали, что сумма медиан больше, чем ¾ периметра.

2. Удвоим медиану BD , достроив треугольник до параллелограмма (см. рис. к задаче 3). Тогда из получим : BK < BC + CK, т.е.

(4)

Аналогично: (5)


Рис. к задаче № 3
(6)

Сложив неравенства (4), (5), (6), получим: , т.е. сумма медиан меньше периметра. ■

Задача 4. Доказать, что в неравнобедренном прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Решение: Пусть АСВ – прямоугольный треугольник, , СН – высота, CD – биссектриса, СМ – медиана.

Введем обозначения: (см. рис. к задаче 4) .

1. как углы со взаимно перпендикулярными сторонами () .

2
Рис. к задаче № 4
.
Так как (см. теорему 4), то СМ = МВ, а тогда из делаем вывод, что Итак,

3. Так как и (ведь CD – биссектриса), то , что и требовалось доказать. ■

Задача 5. В параллелограмме со сторонами a и b проведены биссектрисы внутренних углов (см. рис. к задаче 5). Найти длины диагоналей четырехугольника, образованного в пересечении биссектрис.

Решение: 1. АЕ – биссектриса , ВР – биссектриса (см. рис.) . так как в параллелограмме т.е. то Это значит, что в треугольнике АВК сумма углов А и В равна 900, тогда угол К равен 900, т. Е. биссектрисы АЕ и ВР взаимно перпендикулярны.

Аналогично доказывается взаимная перпендикулярность биссектрис AE и DQ, BP и CF, CF и DQ.

ВЫВОД: KLMN –четырехугольник с прямыми углами, т.е. прямоугольник. У прямоугольника диагонали равны, значит достаточно найти длину одной из них, например КМ.

2
Рис. к задаче № 5
.
Рассмотрим У него АК – и биссектриса, и высота. Это значит, во–первых, треугольник АВР – равнобедренный, т.е. АВ = АР = b, и, во – вторых, что отрезок АК одновременно является медианой треугольника АВР, т.е. К – середина биссектрисы ВР.

Аналогично доказывается, М – середина биссектрисы DQ.

3.Рассмотрим отрезок КМ. Он делит пополам отрезки BP и DQ . Но и средняя линия параллелограмма (учтите, что параллелограмм – частный случай трапеции ; если мы можем говорить о средней линии трапеции, то с равным успехом можем говорить о средней линии параллелограмма, обладающей теми же свойствами) проходит через точки К и М ( см. теорему 2). Значит, КМ – отрезок на средней линии, а потому .

4.Так как и ,то KMDP – параллелограмм, а потому

.

Ответ:

Фактически в процессе решения задачи (на этапах 1 и 2 ) мы доказали довольно важное свойство: биссектрисы углов, прилегающих к боковой стороне трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, лежащей на средней линии трапеции.

Следует отметить, что основным методом составления уравнений в геометрических задачах является метод опорного элемента, который заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т. д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами и полученные выражения приравниваются.

Довольно часто в качестве опорного элемента выбирается площадь фигуры. Тогда говорят, что для составления уравнения используется метод площадей.

Надо научить школьников решению базисных задач, т.е. тех. Которые входят как составные элементы во многие другие задачи. Таковыми являются, например, задачи об отыскании основных элементов треугольника: медианы, высоты, биссектрисы, радиусов вписанной и описанной окружностей, площади.

Задача 6. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ВН – высота. На стороне ВС взята точка D так, что (см. рис к задаче 6). В каком отношении отрезок AD делит высоту ВН?

Решение: 1. Положим BD = a, тогда CD = 4a, АВ = .

2
Рис. к задаче № 6
.
Проведем отрезок (см. рис к задаче 6) Так как НК – средняя линия треугольника ACD DK = KC = 2a .

3. Рассмотрим треугольник ВНК. Имеем : BD = a,

DK = 2a и . По теореме Фалеса но Значит, и

Если в задаче требуется найти отношение каких- либор величин, то, как правило, задача решается методом вспомогательного параметра. Это значит, что мы в начале решения задачи объявляем какую – либо линейную величину известной, обозначив ее например буквой а, а затем выражаем через а те величины, отношение которых требуется найти. Когда составляется искомое отношение, вспомогательный параметр а сокращается. Именно так мы действовали в задаче. Наш совет: при решении задач, в которых требуется найти отношение величин (в частности, в задачах на определение угла – ведь, как правило, при вычислении угла речь идет о нахождении его тригонометрической функции, т.е. об отношении сторон прямоугольного треугольника), следует приучать учеников в качестве первого этапа решения выделять введение вспомогательного параметра. Метод вспомогательного параметра применяется также в задачах, где геометрическая фигура определена с точностью до подобия.

Задача 7 . В треугольник со сторонами равными 10, 17 и 21 см, вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника, а две другие вершины – на двух других сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 22,5см.

Решение . 1. Прежде всего определим вид треугольника. Имеем : 102 = 100; 172 = 289; 212 = 441. Так как 212 > 102 + 172, то треугольник тупоугольный ( см. теорему 7), а значит вписать в него прямоугольник можно только одним способом : расположив две его вершины на большей стороне треугольника АВС ( см. рис. к задаче 7 ), где АС = 21 см, АВ = 10 см, ВС = 17 см.

2
Рис. к задаче № 7
. Найдем высоту ВН треугольника АВС. ВН = 8 см.

3. Положим ED = x . Тогда EF = 11,25 – x (поскольку периметр прямоугольника DEFK равен 22,5 см), ВР = 8 – х . Треугольники BEF и АВС подобны, значит ( в подобных треугольниках отношение соответственных высот равно коэффициенту подобия ), т.е. откуда находим х = 6.

Ответ: 6 см, 5,25 см. ■

При решении задачи мы воспользовались утверждением, что в подобных треугольниках не только стороны, но и соответствующие высоты пропорциональны. Более общим фактором является следующий, представляющий собой, если можно так выразиться, обобщенную теорему подобия:

Если два треугольника подобны, то любой линейный элемент (или сумма линейных элементов) одного треугольника относится к соответствующему линейному элементу (или сумме соответствующих линейных элементов) другого треугольника как соответствующие стороны.

В частности, радиусы описанной или вписанной окружностей, периметры, соответственные высоты, медианы, биссектрисы двух подобных треугольников относятся как соответственные стороны.

Задача 8 . В треугольнике АВС угол А в 2 раза больше угла С, сторона ВС на 2 см больше стороны АВ, а АС = 5 см. Найти АВ и ВС.

Решение . 1. Проведем биссектрису AD угла А. Тогда получим, что ( см. рис. к задаче 8) .

2. В треугольнике ADC углы при основании равны, значит, этот треугольник равнобедренный: AD = DC.

Положим AB = x, AD = DC = y. Тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y.

3
Рис. к задаче № 8
.
 Треугольники АВД и АВС подобны, так как и угол В у этих треугольников общий. Из подобия треугольников заключаем, что т.е.

4. Для отыскания х и у получена система из двух уравнений с двумя неизвестными : откуда

Вычитая второе уравнение из первого, получим 5у – 10 =2у, т.е. у = . Значит т.е.х=4.

Ответ: АВ = 4 см; ВС = 6 см. ■

Очень часто при составлении отношений соответственных сторон в подобных треугольниках в нетривиальных случаях( тривиальные случаи подобия были в задачах 6 и 7 – треугольник отсекался от последнего прямой, параллельной одной из его сторон) те, кто решает задачу. Допускают чисто технические ошибки: или путают порядок треугольников (какой из них первый какой второй), или неудачно выбирают пары сторон в качестве соответственных. Наш совет: если установлено подобие треугольников АВС и DEF, то рекомендуем действовать следующим образом: "загнать" стороны одного треугольника в числители, например так : учитывая, что соответственными сторонами в подобных треугольниках считаются те, которые лежат против равных углов, найти наиболее простые пары соответственных сторон ; если это АВ и DE,BC и DF, то записать :


ОКРУЖНОСТИ.


Перейдем к задачам, связанным с окружностями, причем, опять начнем с перечня восьми «рабочих» теорем.

ТЕОРЕМА 1. Свойства касательных к окружности:

а) радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;

б) отрезки двух касательных, проведенных к окружности из одной точки, от этой точки до точек касания равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

ТЕОРЕМА 2. Измерение углов, связанных с окружностью:

а) центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается;

б) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;

в) угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной между касательной и хордой.

ТЕОРЕМА 3. Об окружностях и треугольниках:

а) около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности служит точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины;

б) во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности служит точка пересечения биссектрис.

  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница