Современные приложения задачи аполлония


НазваниеСовременные приложения задачи аполлония
Дата26.10.2012
Размер37.2 Kb.
ТипДокументы
УДК 514

СОВРЕМЕННЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАДАЧИ АПОЛЛОНИЯ

Пухова Юлия Игоревна, Гельдымурадова Майя Оразмурадовна

Пермский государственный педагогический университет,

математический факультет , 131 и 152 группа

malshakova.ylia@yandex.ru

В работе рассматриваются приложения классической задачи евклидовой геометрии о построении окружности, касающейся трех данных окружностей, во фрактальной геометрии и ее приложениях.

В настоящее время главным результатом современной математики является полное переосмысление её традиционных областей, ранее доказанных теорем и решённых задач. Поэтому представляет интерес рассмотреть современные приложения классической задачи Аполлония. Инверсия как мощный инструмент геометрии позволяет выполнить лаконичные решения данной задачи [6].

Следуя принципу наглядности, мы рассмотрели современные приложения задачи Аполлония в программе «Живая геометрия», которая предоставляет для этого все необходимые средства: создание точно вычерченных чертежей, построение и изменение геометрических объектов, плавное изменение положения исходных объектов [3]. Нами были разработаны инструменты пользователя, позволяющие автоматически построить образы точек, прямых и окружностей при инверсии. Данные инструменты послужили базой для решения задачи Аполлония в программной среде «Живая геометрия».

Аполлоний Пергский является одним из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н. э. Среди его многочисленных работ особое место занимает решение задачи о построении окружности, касающейся трёх заданных окружностей [1]. Позже её исследовали многие математики, включая Леонарда Эйлера.


Так как три окружности на плоскости можно расположить разными способами, некоторые из которых мы представили на рис. 1, рассмотрим частные случаи задачи Аполлония. Приведём построение одного из них.



Рис.1

Изобразим три окружности ɤ1, ɤ2, ɤ3, касающиеся друг друга (рис.2). Применим инверсию относительно вспомогательной окружности ω с центром в точке касания окружностей ɤ1 и ɤ3 произвольным радиусом (рис.3). Можем использовать созданные нами инструменты пользователя [5], позволяющие строить образ окружностей пересекающих инверсную окружность ω в двух точках, проходящих и не проходящих через её центр в программе «Живая геометрия». Применение этих инструментов позволяет избавиться от лишних линий, автоматически строя нужный образ.




Тогда по свойствам инверсии окружности ɤ1 и ɤ3перейдут в параллельные прямые, окружность ɤ2- в окружность, касающуюся данных прямых (рис.4).



Если даны две параллельные прямые и окружность, касающаяся каждой прямой, то требуется построение окружности, которая касается всех трёх данных линий. Решением этой задачи будут 2 окружности, представленные на рисунке 5.



Так как условие задачи инвариантно относительно преобразования инверсии, то решение исходной задачи можем получить, инвертируя обратно данные элементы (применим инструменты пользователя). Решением будут окружности с малым и большим радиусом (рис.6).



Спрячем все лишние элементы, оставив видимыми данные и искомые окружности (рис.7). Задача решена.



Анализируя литературу по теме исследования [2], мы выяснили, что на основе данного частного случая задачи Аполлония возможно построение самоинверсного множества – Аполлониевой салфетки. Множество М называется аполлониевым, если оно состоит из бесконечного числа окружностей вместе с их предельными точками.

В работе рассматривается наряду с классическим координатный метод решения задачи, для этого выбрана подходящая система координат, на основе полученных формул составлена программа, позволяющая построить с помощью рандомизированного алгоритма изображение самоинверсного множества, называемого Аполлониевой салфеткой (рис.8).



Рис.8

Продолжением данного исследования может быть как изучение других видов самоинверсных множеств, так и решение задач методом инверсии.

Библиографический список

  1. Жижилкин И.Д. Инверсия. / И.Д. Жижилкин М.:МЦНМО, 2009.  76 с.

  2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

  3. Мошнина И.В. Живая Геометрия на уроках математики [Электронный ресурс]. – URL: http://www.art.ioso.ru/vmuza/internet/geometria/per_prym.htm. (Дата посещения: 9 марта 2011 г.).

  4. Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости /Я.П. Понарин. М.: МЦНМО, 2008. – 312 с.

  5. Пухова Ю.И. Реализация инверсии в программе «Живая геометрия» / Курсовая работа, математический факультет, Пермь, 2011.

  6. Савин А.П. Инверсия и задача Аполлония: математические миниатюры / А.П. Савин.  М.: Дет.лит, 1991.  148 с.

MODERN APPLICATIONS OF APOLLONIE PROBLEM

Pukhova Julia Igorevna, Geldymuradova Maya Orazmuradovna

The Perm State Pedagogical University,

Department of Mathematics, 131 and 152 group

malshakova.ylia @ yandex.ru

This paper considers the application of the classical problem of constructing a Euclidean circle tangent to three given circles, in fractal geometry and its applications.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница