Исследовательская работа на тему: «Золотое сечение в искусстве и архитектуре»


Скачать 271.9 Kb.
НазваниеИсследовательская работа на тему: «Золотое сечение в искусстве и архитектуре»
страница1/3
Дата06.12.2012
Размер271.9 Kb.
ТипИсследовательская работа
  1   2   3



МОУ ДОД ДВОРЕЦ ТВОРЧЕСТВА ДЕТЕЙ И МОЛОДЁЖИ

г. РОСТОВА-НА-ДОНУ.

ДОНСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ЮНЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ


СЕКЦИЯ:


______________ОБЩАЯ МАТЕМАТИКА___________________


ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«Золотое сечение в искусстве и архитектуре»


ИСПОЛНИТЕЛЬ:

Ф.И.(полностью)_Черезова Анастасия Андреевна

Школа № 6 с углубленным изучением математики

Класс _11 «А»___________________

Район _________________________

Город __Шахты______________

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Ф.И.О.(полностью)Пономарева Наталья Георгиевна

Должность _заместитель директора по УВР, учитель математики_

Степень (если есть)______________

РЕЦЕНЗЕНТ:

________________________________

________________________________

________________________________


2009 год


Оглавление:


  1. Введение……………………………………………………………………………… 2

  2. Глава 1. Золотое сечение – гармоническая пропорция…………………………… 3

  3. Глава 2. История золотого сечения………………………………………………… 3

  4. Глава 3. Ряд Фибоначчи …………………………………………………………… 6

  5. Глава 4. Принципы формообразования в природе ………………………………. 7

  6. Глава 5. Золотое сечение в скульптуре …………………………………………... 8

  7. Глава 6. Золотое сечение в живописи ……………………………………………. 9

  8. Глава 7. Золотое сечение в архитектуре ………………………………………….. 12

  9. Заключение ………………………………………………………………………….. 14

  10. Список литературы …………………………………………………………………. 15



Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это

теорема Пифагора, и другое – деление отрезка в среднем и

крайнем отношении…Первое можно сравнить с мерой

золота, второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер11


ВВЕДЕНИЕ

Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое деление отрезка в среднем и крайнем отношении, то есть «золотое сечение» – далеко не все.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Цель исследования: приобрести новые знания по математике в области «Золотое сечение» и их применению в различных сферах деятельности человека для расширения кругозора и более обоснованного самоопределения в выборе профессии.

Задачи:

1.Познакомиться с понятием золотого сечения.

2.Выяснить, как используется золотое сечение человеком в различных сферах деятельности, в частности в искусстве и архитектуре.

3.Определить, как мне эти знания могут пригодиться в выборе моей будущей профессии.

Гипотеза: Изучив золотое сечение как один из основных, более общих законов мироздания, его роль в природе, практическое применение в различных сферах жизни людей, я смогу глубже познать окружающий мир, саму себя и самоопределиться с выбором жизненного пути.

Объект исследования: ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ.


Глава 1

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ


В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить точкой C на две части следующими способами:

на две равные части АВ : АC = АВ : ВC;

и на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда АВ : АC = АC : ВC.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618...; 0,382., т.е. части золотого сечения составляют приблизительно 62% и 38%. К эти числам можно прийти следующим образом. Составим пропорцию, согласно золотому сечению, и получим уравнение:



a = c-b, тогда



Примем всю длину отрезка – с – за единицу, большой отрезок – b – за х, тогда малый отрезок – а – будет равен 1 – х. Получаем квадратное уравнение:




х2 + х – 1 = 0

Д = 5

x1 =

x2 = В этом случае х2 < 0, что в нашей задаче невозможно.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение – 0, 618. Рассмотренная задача присутствует еще в «Началах» Евклида.9

Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Разумеется, есть и золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками. Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком

Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.

Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.


Глава 2

ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ


Математикой нужно заниматься не ради ее приложений,

а во имя духовной прибыли, которая связана с ней.

Платон3


Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).

Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении.

Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида.

Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии.6

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».


Глава 3

РЯД ФИБОНАЧЧИ


Красота должна отвечать строгому числу.

Л.Б.Альберти3


С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи).

Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:


Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 и т.д.

Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.. Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар?

Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.


  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница