Арбузов В. Н. Теоретические основы электротехники. Конспект лекций для студентов заочного отделения


Скачать 132.33 Kb.
НазваниеАрбузов В. Н. Теоретические основы электротехники. Конспект лекций для студентов заочного отделения
Арбузов В Н
Дата26.04.2013
Размер132.33 Kb.
ТипКонспект


Министерство образования и науки Российской Федерации

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский институт энергобезопасности и энергосбережения


Кафедра

Электротехники и электроники


Арбузов В.Н.


ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ


Конспект лекций

по разделу

"Цепи с распределенными параметрами"


Москва 2007


Аннотация

Данные конспект лекций предназначен для студентов заочного отделения специальности «Электроэнергетика», изучающих третью, заключительную часть дисциплины «Теоретические основы электротехники». Целью данной работа является оказание помощи студентам в изучении раздела «Электрические цепи переменного тока». Изложение иллюстрируется решением простых задач. Для проверки знаний целесообразно ответить на вопросы приведенные в конце каждого раздела.

Для изучения данного раздела необходимы знания основных законов электротехники, а так же знаний полученных студентами в курсах «Высшая математика» и «Физика».


Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры Электротехники и электроники МИЭЭ 3 марта 2008г.


Автор: к.т.н., доцент Арбузов В.Н.


Теоретические основы электротехники. Конспект лекций для студентов заочного отделения.- М.:МИЭЭ, 2008.


© МИЭЭ, 2008

ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Общие сведения


В предыдущих разделах курса рассматривались электрические цепи с сосредоточенными параметрами. В таких цепях индуктивности, емкости и сопротивления сосредоточены в отдельных элементах. Цепи, в которых параметры распределены по всей длине или по объему, называются цепями с распределенными параметрами.

Для цепей с сосредоточенными параметрами характерно то, что в каждый момент времени ток, в неразветвленной части цепи, в любом сечении, имеет одно и то же значение. В цепях с распределенными параметрами токи в разных сечениях неразветвленной цепи не равны. Например, рассматривая передачу электрической энергии в линиях передачи, следует учитывать, что магнитные и электрические поля распределены по всей длине линии, и превращение электромагнитной энергии в тепло также происходит по всей ее длине. Такие цепи характеризуются распределёнными по всей длине индуктивностями, ёмкостями, активными сопротивлениями и называются цепями с распределёнными параметрами. Воздействие генератора на такую цепь проявляется в некоторой точке цепи не мгновенно, а с запаздыванием на время, определяемое длиной пути тока между генератором и этой точкой и скоростью распространения колебаний в цепи. Скорость распространения тока вдоль линии равна скорости света, т.е. 3∙108 м/с. Это довольно большая величина, но и расстояния на которые передается электрическая энергия, могут быть достаточно большими. Поэтому мгновенное значение тока, в реальной цепи с конечными размерами, принципиально не может быть везде одинаково.

Простейшими цепями с распределёнными параметрами являются длинные линии. Длинная линия это двухпроводные воздушные линии электропередачи, имеющие длину , (λ - длина волны электромагнитных колебаний, т.е. расстояние, которое проходит свет за период). Для линии с частотой f=50 Гц, длина волны λT=c/f=3∙108/50=6∙106 м или 6000 км.

Линии передачи, геометрическая конфигурация, а также свойства материалов (проводников и диэлектриков), которых остаются неизменными по всей длине, называются однородными, или регулярными.

Уравнения линии


Рассмотрим в качестве примера двухпроводную линию передачи с известным сопротивлением нагрузки на конце (рис.1). Электромагнитные свойства такой линии характеризуются первичными параметрами, т.е. параметрами, отнесёнными к единице длины линии:





Рис.1


Если представить длинную линию в виде отрезков длиной каждый, то в пределе при такие малые элементы линии могут быть описаны методами, принятыми в теории цепей. В этом случае любой малый отрезок линии можно представить в виде эквивалентной схемы (рис.2), состоящей из сосредоточенных малых элементов , , , .



Рис.2 Рис.3


Вся линия может быть представлена каскадным соединением элементарных четырёхполюсников (рис.3), где - погонное комплексное сопротивление, - погонная комплексная проводимость.

Глядя на рис.3, понятно, что напряжение и ток в каждом узле линии различны. Они зависят от расстояния узла от генератора. Обозначим символами , , комплексные напряжения на входе и выходе элементарного четырёхполюсника, а через комплексные токи узла А. На основании второго и первого законов Кирхгофа, получим тождества




Представим последние тождества системой разностных уравнений:




Совершая предельный переход при , получим систему двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые называются телеграфными уравнениями

(1)


Если продифференцировать обе части телеграфных уравнений по х, то последняя система может быть сведена к двум дифференциальным уравнениям второго порядка как относительно напряжения, так и относительно тока:





В правую часть подставим предыдущие уравнения


(2)


Полученные уравнения запишем иначе





где

- комплексный коэффициент распространения.


Характеристическое уравнение, в данном случае, имеет вид


,


а его корни .


В теории волновых процессов эти уравнения носят название уравнений Гельмгольца, их общее решение записывается следующим образом:


(3)


где A,B,C,D – комплексные коэффициенты

Эти уравнения описывают волновые процессы распространения напряжения и тока в длинной линии. Первые слагаемые в выражениях для напряжения и тока определяют комплексные амплитуды падающих волн, а вторые - отраженных волн напряжения и тока. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий. Обозначим через и напряжение и ток на входе линии, т.е. при . Тогда уравнения можно записать так


(4)

и




Два последних уравнения запишем иначе:





Обозначим - волновое сопротивление линии.

Тогда эти уравнения принимают вид


(5)


Из (3) и (4) следует, что











Подставив постоянные интегрирования в уравнения (3) получим


(6)


После перегруппировки слагаемых эти уравнения принимают вид


(7)


где , , гиперболические синус и косинус.

В конце линии, когда уравнения принимают вид





Эти уравнения связывают напряжения и токи в начале и в конце линии. Они полностью совпадают с уравнением четырехполюсника.

В самом начале при выводе уравнений мы предполагали, что напряжение и ток заданы в начале линии, и отсчет расстояния ведется от начала линии. Точно такие же уравнения можно получить если отсчитывать расстояние от конца линии, и считать известными напряжение на нагрузке и ток нагрузки. Тогда в уравнениях (1) следует заменить х на lх, U1 на U2, I1 на I2, после чего уравнения принимают вид


(8)


или


(9)

В зависимости от соотношения сопротивления нагрузки и волнового сопротивления линия работает в режиме бегущих волн, стоячих или смешанных волн.
Пример

Пусть, например, R0 = 0,123 Ом/км, L0 = 1,27 · 10-3 Гн/км; G0 = 8,26 · 10-8 См/км; C= 8,78 · 10-9 Ф/км. Тогда



где γ – комплексное число, которые можно представить в виде γ= α+jβ, десь α – коэффициент затухания, характеризующий уменьшение амплитуды падающей или отраженной волны на единицу длины линии, β – коэффициент фазы, определяющий изменение фазы падающей волны на единицу длины линии. Таким образом, α = 0,176 · 10-3 Нп/км (непер на километр), β = 1,058 · 10-3 рад/км = 6,062 · 10-2 град/км.

Вопросы для самопроверки


  1. На основании каких законов получены уравнения линии (телеграфные уравнения)?

  2. Коэффициенты A,B,C,D получены из начальных условий, т.е. значений тока и напряжения в начале линии (у генератора). Как найти коэффициенты исходя из конечных условий, т.е. значений тока и напряжения в конце линии (у нагрузки)?

  3. Что означает присутствие двух слагаемых в решении уравнения.

  4. Комплексный коэффициент распространения содержит действительную и мнимую часть. Как влияет каждая часть на процесс распространения волн?

  5. Когда волновое сопротивление может быть действительным числом?



Фазовая скорость


Фазовая скорость это скорость распространения фазы или скорость волны. Для ее определения запишем комплексную амплитуду падающей волны из (6).





где модуль комплексного числа , а φ – аргумент этого числа.

Мгновенное значение для падающей волны напряжения





В момент на расстоянии фаза волны равна . За время dt волна пройдет расстояние dx, и станет равной , но фаза останется прежней, т.е. имеет место равенство




или

.


Откуда следует, что фазовая скорость


.


С другой стороны, если в некоторый фиксированный момент времени, например, в момент t=0, переместиться вдоль линии на расстояние x то фаза изменится на величину радиан, причем перемещение на расстояние равное длине волны соответствует изменению фазы на радиан. Таким образом, , т.е.


.

Тогда

,

т.е. фазовая скорость равна скорости света.

Вопросы для самопроверки


  1. Равны ли фазовые скорости напряжения и тока?

  2. Равны ли фазовые скорости падающей и отраженной волн?

  3. Скорость распространения волны в линии равна скорости света. Означает ли это, что скорость движения электронов в линии равна скорости света?



Коэффициент отражения


Вернемся к уравнениям (3), только запишем их немного иначе




Первое слагаемое в каждом уравнении описывает отраженную волну, а второе падающую. То есть амплитуда напряжения падающей волны




отраженной

.


Аналогичным образом с током


,

.


Коэффициентом отражения линии p, нагруженной на сопротивление , называют отношение комплексных амплитуд отраженной волны к падающей волне. В данном случае имеем две волны – волну напряжения и волну тока, поэтому будет два коэффициента отражения по напряжению и по току.





Из сопоставления этих уравнений видно, что





Отсюда следует, что отраженные волны тока и напряжения находятся в противофазе. Зависимость коэффициента отражения от сопротивления нагрузки выявляет физический смысл возникновения отраженных волн, как волн, возникающих у нагрузки при отраженных от нее падающей волны. При этом амплитуды отраженных волн равны


,

и их величины зависят от соотношения между сопротивлением нагрузки и волновым сопротивлением линии. Если , то и отраженных волн в линии нет.

Вопросы для самопроверки


  1. Коэффициент отражения это комплексное число. Что характеризует его модуль и аргумент?

  2. В каких пределах может изменяться модуль коэффициента отражения?

  3. Каким должно быть сопротивление нагрузки, чтобы потребляемая мощность была максимальной?

  4. Что делать, если сопротивление нагрузки значительно отличается от волнового сопротивления линии?

Входное сопротивление


Входное сопротивление линии определяется как отношение напряжения к току на входе линии.





Из (4) следует, что в начале линии





поэтому входное сопротивление





или





Выразим через коэффициент отражения



где и - комплексные действующие значения падающих волн на входе линии;

и - комплексные а действующие значения отраженных волн на входе линии;

- коэффициент отражения по напряжению на входе линии.

Вопросы для самопроверки


  1. Для чего нужно знать входное сопротивление линии?

  2. Каким должно быть входное сопротивление линии?

  3. Зависит ли входное сопротивление от длины линии?

  4. Зависит ли входное сопротивление от первичных параметров линии?

Линия без потерь


Рассмотрим идеальную линию без потерь, т.е. линию у которой и .

Для линии без потерь величина


,


где - фазовая постоянная, показывающая отставание фазы колебаний за время их распространения на единице длины. Уравнения (8) упростятся





Волновое сопротивление у такой линии





равно действительному числу. Поэтому уравнения можно записать в виде




Эти уравнения описывают волновые процессы, происходящие в линии без потерь.

Входное сопротивление



Вопросы для самопроверки


  1. Для чего нужно знать явления в линии без потерь, если все линии передачи электрической энергии имеют потери?

  2. Какой особенность обладает волновое сопротивление линии без потерь?

  3. Линия без потерь подключена к источнику. Может ли быть так, чтобы мощность потребляемая нагрузкой при этом была равна нулю?

Линия, нагруженная на волновое сопротивление


Если сопротивление нагрузки , то , а в уравнениях (8) остаются только по одному слагаемому, соответствующему падающей волне





Отраженные волны в этом случае отсутствуют. Такой режим работы линии называется режимом бегущих волн. Входное сопротивление равно волновому сопротивлению и в любом сечении равно





Напомним, что для линии без потерь , т.е. это активное сопротивление.

Мгновенные значения тока и напряжения равны



Линия, разомкнутая на конце


В случае разомкнутой линии , т.е ток , тогда уравнения (8) принимают вид





т.е. в линии имеется падающая и отраженная волны с одинаковыми амплитудами

В линии без потерь





Мгновенные значения





Входное сопротивление



Линия закороченная на конце


Напряжение на конце закороченной линии , и уравнения (3) принимают вид




а для линии без потерь





Мгновенное значение напряжения и тока в любой точке





Входное сопротивление




Активная мощность в начале линии и КПД передачи


Активная мощность в начале линии равна

,

где – угол сдвига фаз между напряжением и током в начале линии; он вычисляется как разность аргументов комплексного напряжения и комплексного тока , рассчитанных ранее. Величину P1 можно найти иначе, вычислив полную комплексную мощность на входе цепи и взяв ее вещественную часть.

КПД передачи определяется отношением активных мощностей в конце и начале линии




Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница