Университетские исследования, 2012


Скачать 196.57 Kb.
НазваниеУниверситетские исследования, 2012
Дата23.04.2013
Размер196.57 Kb.
ТипДокументы

Университетские исследования, 2012

УДК 519.2:683

Применение параллельных вычислений в среде пакета

Mathematica при решении задач стохастической

финансовой математики

Полосков Илья Игоревич,1 Полосков Игорь Егорович (д.ф.-м.н.)

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

ул.Букирева, 15, г. Пермь, 614990, Россия, e-mail: i.blast59@gmail.com


В работе рассматриваются возможности параллельных вычислений в рамках известного пакета компьютерной алгебры Mathematica™ и применение этих средств для разработки эффективных алгоритмов решения некоторых задач стохастической финансовой математики. Указанные возможности демонстрируются на примерах.


1. Введение. Как известно, современные задачи науки и техники требуют для своего решения адекватного теоретического и прикладного аппарата. Такой прикладной аппарат включает принципы использования компьютерной техники различной производительности для реализации вычислительных алгоритмов. Особое внимание (что отражено в Приоритетных направлениях развития науки, технологий и техники в Российской Федерации, утвержденных Правительством Российской Федерации) направлено на развитие и применение высокопроизводительной вычислительной техники, включающие параллельные, облачные и другие вычисления. Необходимость решения все усложняющихся задач теоретической экономики и стохастической финансовой математики также приводит к внедрению указанной вычислительной техники и программирования в экономические исследования.

В настоящее время существует немало примеров, когда анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным. Во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера, в том или ином смысле малые по сравнению с неслучайными факторами, но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы. Математический аппарат для исследования таких объектов дают случайные функции, а также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ).

Поэтому очевидно, что необходимо искать эффективные способы решения СДУ. Выяснилось, что значительный прирост скорости расчетов достигается за счет использования параллелизма в алгоритмах решения СДУ. При построении программ, реализующих такие алгоритмы, используют многократное моделирование процессов из реальных задач, что и дает гибкие возможности для распараллеливания решения СДУ на современных вычислительных устройствах.

В данной работе рассматриваются возможности параллельных вычислений в рамках известного пакета компьютерной алгебры Mathematica™ [1] и применение этих средств для разработки эффективных алгоритмов решения некоторых задач стохастической финансовой математики. Указанные возможности демонстрируются на примерах.

2. Параллелизм в пакете Mathematica. Существующие средства работы с параллельными вычислениями достаточно сложны и нередко для их использования необходим высокий уровень подготовки, выходящий за пределы знаний обычного пользователя-вычислителя. С другой стороны, уже давно стали доступны развитые компьютерные математические пакеты (КМП) такие, как Axiom, Derive, Macsyma/Maxima, Maple, Mathematica, MuPad, Matlab, MathCAD и др., которые при решении различных прикладных задач, наряду со средствами реализации численных алгоритмов, позволяют применять символьные аналитические процедуры. Этот симбиоз существенно упрощает решение даже очень сложных задач. Но до последнего времени из-за специфики последних в таких математических пакетах отсутствовали средства организации параллельных вычислений. В этой области единственным исключением являлся пакет MuPad (разработчик – группа исследователей из Университета г.Падербон, Германия), который изначально создавался с ориентацией на возможность использования подобных вычислений.

Необходимость ускорения работы программ, написанных на входных языках КМП, вызвала бурный рост разработок в области включения в отдельные [2], (эклектичные) свободно распространяемые [3] и наиболее распространенные коммерческие КМП развитых средств параллельных вычислений, в т.ч. позволяющих производить вычисления на графических ускорителях с помощью техники GPGPU (OpenCL, CUDA). Не обошла данная тенденция и разработчиков такого популярного КМП как Mathematica [1, 4].

В пакете Mathematica работа с параллельными вычислениями представлена большим набором возможностей и команд. Первой версией пакета компьютерной алгебры (ПКА) Mathematica, которая стала поддерживать параллелизм, стала версия 7. До этого параллельные возможности пакета были выделены в отдельное расширение – Parallel Computing Toolkit. В версии 8 были также добавлены функции для работы с CUDA и OpenCL – фреймворками, позволяющими выполнять распределенные вычисления на CPU и GPU.

Отметим основные возможности и средства параллельных вычислений в пакете Mathematica:

– распределенная память, параллелизм мастер / слейв;

– возможность реализации на языке Mathematica;

– платформонезависимость;

Mathlink–связь с удаленными ядрами;

– обмен символьными выражениями и программами с удаленными ядрами, а не только числами и массивами;

– гетерогенные сети, мультипроцессорные системы, LAN, WAN;

– планировщик виртуальных процессов или явное распределение процессов для доступных процессоров;

– виртуальная разделяемая память, синхронизация, блокировка;

– скрытие задержек;

– поддержка параллельного функционального программирования и автоматического распараллеливания;

– восстановление после сбоя, автоматическое перераспределение процессов на отказавших удаленных компьютерах.

Параллельные вычисления в среде пакета Mathematica основаны на запуске нескольких ядер и их контроле, что обеспечивает среду для параллельного программирования распределенной памятью.

Возможности для параллельных вычислений почти полностью реализованы на языке Mathematica и поэтому являются машинно–независимыми. Они были проверены на платформах Unix, Linux, Windows, Macintosh и хорошо подходят для работы на локальных машинах, в локальных сетях компьютеров, в т.ч. гетерогенных.

Основа параллельных вычислений в пакете Mathematica – среда MathLink. MathLink – это общий, гибкий интерфейс для взаимодействия сторонних программ с пакетом Mathematica, который также используется внутри самого пакета Mathematica. В MathLink платформа и архитектура разделены, что позволяет работать как локально, так и по сети. Данный интерфейс может пересылать все, что может представлять пакет Mathematica, а также предоставляет возможности для управления пакетом.

Существуют следующие способы подключения ядер в пакете Mathematica:

локальные ядра (Local Kernels). Используются для организации параллелизма на том же компьютере, где находится мастер–процесс пакета Mathematica. Такой тип подключения подходит для многоядерной среды, и он является самым простым способом работы с параллельными вычислениями;

легковесная сеть (The Lightweight Grid). Метод, используемый для организации параллельных вычислений на различных компьютерах с помощью мастер–процесса пакета Mathematica. В методе используется технология Wolfram Lightweight Grid для запуска Mathematica на удаленных машинах. Такой способ подходит для гетерогенных сетей и случаев, когда недоступны другие технологии управления;

кластерная интеграция (Cluster Integration). Метод, используемый для организации параллельных вычислений на множестве компьютерах с помощью мастер–процесса пакета Mathematica, который интегрируется с большим числом сторонних кластерных технологий;

удаленные ядра (Remote Kernels). Метод, используемый для организации параллельных вычислений на множестве компьютеров с помощью мастер–процесса пакета Mathematica, который использует технологию удаленного вызова оболочки для запуска и, как правило, сложнее для настройки и обслуживания.

ПКА Mathematica способен работать с большим количеством процессоров и ядер как локальных, так и удаленных [5]. Количество ядер для работы доступных пользователю определяется купленной лицензией.

Для начала работы с параллельными вычислениями необходимо подготовить пакет Mathematica, открыв пункт меню EvaluationParallel Kernel Configuration, где есть возможность указать способ запуска ядер пакета Mathematica, выбрать действие при сбое ядер и настроить ядра в зависимости от способа подключения. Для отслеживания состояния ядер в пакете Mathematica доступно специальное средство – Parallel Kernel Status, которое можно вызвать в меню EvaluationParallel Kernel Status. Для получения детальной информации о конфигурации системы для параллельных вычислений можно воспользоваться функцией (командой) SystemInformation[ ] и перейти на вкладку Parallel.

При работе с параллельными вычислениями главное ядро пакета Mathematica само запускает параллельные ядра ПКА Mathematica при вызове параллельной операции. При этом будут использованы те ядра, которые указаны в Parallel Kernel Configuration. По умолчанию используется тип подключения Local Kernels. Для просмотра сконфигурированных ядер используется команда $ConfiguredKernels.

Пакет Mathematica позволяет работать с параллельными ядрами так же, как с объектами:

mykernel = First[Kernels[ ]];

ParallelEvaluate[a===2, mykernel]

Функция ParallelEvaluate[cmd, kernel] отправляет команду cmd для расчетов на параллельное ядро kernel.

В ПКА Mathematica есть возможность использования автоматического распараллеливания команд и структур данных с помощью соответствующих команд:

функция Parallelize[expr] производит расчет выражения expr, используя автоматическое распараллеливание команд;

функция ParallelCombine[f, h[e1,e2,…], comb] производит параллельные расчеты суперпозиции функций f[h[e1,e2,…]], распределяя части по всем параллельным ядрам, и комбинирует все результаты в выражении comb;

функция ParallelMap[f, expr] параллельно применяет функцию f для каждого элемента на первом уровне в expr;

функция ParallelTable[expr, {imax}] паралле­льно генерирует список imax копий выражений expr;

функция ParallelSum[expr, {i, imax}] производит параллельный расчет суммы.

При параллельных расчетах возникает потребность использовать одновременный доступ к структурам, спискам и т.д. В ПКА Mathematica есть следующие средства позволяющие организовать одновременный доступ:

функция ParallelSubmit[expr] передает expr для расчетов на следующем доступном параллельном ядре и возвращает EvaluationObject – выражение, представляющее переданные расчеты;

функция WaitAll[expr] ожидает завершения всех расчетов, представленных EvaluationObject – выражениями expr, затем возвращает результирующее выражение.

3. Стохастические процессы в финансовой математике. При работе с задачами финансовой математики [6] приходится учитывать понятие риска. Риском является любое изменение исхода. Теория финансовой математики предлагает два разных подхода к борьбе с рисками. Первый подход заключается в том, чтобы сменить риск на неопределенность, второй подход предлагает сменить только неблагоприятный риск, сохраняя при этом благоприятный. Примерами инструментов, которые позволяют уменьшить риски, являются форварды, FRA, свопы, фьючерсы и т.д.

Опцион – некоторый договор, по которому потенциальный покупатель или продавец актива получает право (но не обязательство) совершить покупку или продажу по заранее оговоренной цене в определенный договором момент будущего или на протяжении определенного отрезка времени. Существует 2 типа оционов:

  • опцион колл (call option). Такой опцион дает право купить в будущем оговоренное количество базового актива;

  • опцион пут (put option). Такой опцион дает право продать в будущем оговоренное количество базового актива.

Наиболее распространенными являются опционы двух стилей: американский опцион, который может быть погашен в любой день срока до истечения срока опциона; европейский опцион может быть погашен только в одну указанную в договоре дату.

Из определения риска можно сделать вывод [7,8], что инструментом финансовой математики является теория случайных (стохастических) процессов. В финансовой математике рассматривают два вида стохастических процессов: стохастические процессы с дискретным и непрерывным временем.

Примеры стохастических моделей с дискретным временем:

  • базовая модель динамики цен финансовых инструментов. Эта модель, согласно которой доходности инструментов подчиняются процессу случайного блуждания;

  • модели ARIMA. Дают возможность прогнозировать доходность на основе прошлых значений доходности;

  • модели GARCH. Предназначены для моделирования условной волатильности доходностей. Волатильность – статистический финансовый показатель, характеризующий изменчивость цены.

Примеры стохастических моделей с непрерывным временем:

  • модели, основанные на броуновском движении;

  • модели описания динамики краткосрочной процентной ставки;

  • модели ценообразования опционов типа Блэка–Шоулза.

Далее в работе рассматриваются задачи финансовой математики на основе непрерывных стохастических процессов во времени и пространстве.


До начала 70–х годов XX века решения при работе с опционами принимались в основном из интуитивных соображений. Создание математического аппарата с использованием стохастических дифференциальных уравнений Фишером Блэком и Майроном Шоулзом [9] для работы с опционами и другими производными инструментами повлияло на развитие теории финансов, а также привело к повышенному интересу к деривативам (производным финансовым инструментам) и опционной торговле.

Модель Блэка–Шоулза определяет теоретическую цену на европейские опционы, подразумевая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом уже устанавливается самим рынком. Данная модель рассматривает опцион как функцию следующих элементов:

  • цены базового актива и цены страйк (цены исполнения);

  • времени, остающегося до даты истечения опциона;

  • степени колебаний (волатильности);

  • дивидендов.;

  • уровень процентных ставок.

Для покупателя привлекательность опциона объясняется тем, что ему заранее известен максимально возможный размер убытков – это величина премии, уплаченной за опцион, тогда как потенциальная прибыль теоретически неограниченна.

Для выведения модели ценообразования Блэк и Шоулз сделали следующие предположения [7]:

  1. в течение срока действия опциона дивиденды по базовым акциям не выплачиваются;

  2. используются временные сроки исполнения для европейских опционов;

  3. рынки являются эффективными;

  4. отсутствие взимаемых комиссий;

  5. уровень процентных ставок остается неизменным и известен заранее;

  6. модель основывается на логнормальном распределении цен акций;

Пусть – текущая цена базового актива, – цена дериватива как функция от времени и стоимости базового актива, – текущая стоимость опциона колл,



– функция стандартного нормального распределения, – цена исполнения опциона (цена страйк), – безрисковая процентная ставка, T – момент истечения срока опциона, – время до истечения срока опциона, – волатильность базовой акции, – непрерывная годовая доходность. Тогда цена европейского опциона колл вычисляется по формуле [6]:

,

где

, .

При этом цена европейского опциона пут вычисляется по формуле:



Известно, что цена базового актива подчиняется геометрическому броуновскому движению (ГБД). ГБД – это случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение. Диффузионное уравнение Блэка–Шоулза для этого процесса имеет следующий вид:

,

где – броуновское движение, аналитическое решение этого уравнения –



Выплаты в момент наступления срока погашения являются известной величиной. Для того чтобы найти такое значение в более раннее время, необходимо знать, каким образом изменяется функция . Это изменение описывается стохастическим дифференциальным уравнением:



Данная модель является базовой для многих моделей стохастической финансовой математики. GBM как случайный процесс применяется в целях моделирования ценообразования на финансовых рынках [6-8,10]. Рассмотрим две из них.

10. Модель Шобеля–Жу–Халла–Уайта (the Scobel–Zhu–Hull–White model). Эта модель является комбинацией модели для стохастических процентных ставок Халла–Уайта и модели для стохастической волатильности Шобеля–Жу. Модель имеет 3 ключевых переменных, которые коррелируют между собой: цена акций X(t), изменение процентной ставки R(t) и стохастическая фондовая волатильность V(t). Риск–нейтральная динамика цен модели Шобеля–Жу–Халла–Уайта выражается системой уравнений [11]:





где , , , b, c – положительные параметры, которые могут быть получены из рыночных данных. Количество R0 и детерминированная функция используются в соответствии с текущими наблюдениями за процентными ставками. Скрытый параметр V0 соответствует текущей волатильности и определяется из данных рынка. Вектор



– вектор независимых стандартных винеровских процессов (броуновских движений).

20. Модель Хестона (the Heston stochastic volatility model). Стохастическая модель волатильности Хестона задается системой СДУ [12, 13]



с коррелированными броуновскими движениями: – символ математического ожидания. Хестон нашел полуаналитическое решение для стоимости европейских пут– и колл–опционов, используя обратное преобразование Фурье. Цена европейского опциона колл с ценой исполнения K и временем истечения срока опциона T выражается подобно уравнению модели Блэка–Шоулза. В данной модели первое уравнение характеризует динамику цены, а второе – случайную волатильность цены.

4. Метод Хойна интегрирования СДУ и его реализация. Данный алгоритм является адаптацией для СДУ метода Хойна [14], который является методом для приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Отличие заключается в добавлении моделирования винеровских процессов. Опишем метод Эйлера–Маруямы для интегрирования стохастических дифференциальных уравнений.

Пусть дано следующая система СДУ:





где –вектор состояния, – вектор случайных винеровских процессов, – случайный вектор с известным распределением.

Стохастический метод Хойна [15] является методом типа "предиктор-корректор" и имеет следующую форму расчетных формул:





где





q – номер моделирования, M – число моделирований, – результат разыгрывания случайного вектора для q–го моделирования.

Как и в случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений, структура систем стохастических дифференциальных уравнений позволяют разрабатывать параллельные алгоритмы интегрирования. В отличие от параллельного интегрирования ОДУ интегрирование СДУ позволяет добиться параллелизма за счет распределения моделирований по различным вычислительным ядрам. Это становится возможным из-за независимости проводимых моделирований друг от друга. В этом случае отпадает необходимость особой организации параллелизма внутри цикла интегрирования, что позволяет организовать параллелизм даже в случае одного СДУ. Для достижения поставленной цели в данном случае достаточно запустить процедуру интегрирования на всем количестве параллельных ядер.

Метод Хойна–является итерационным методом. В алгоритме, реализующем данный метод, были использованы два основных цикла: внешний – по количеству моделирований, внутренний – по числу временных шагов. Для моделирования броуновского движения используем случайную величину , распределенную по нормальному закону с параметрами 0 и 1. При этом реализации приращений броуновского движения будем вычислять по формуле



где – очередной результат разыгрывания случайной величины Z.

В пакете Mathematica присутствует встроенная функция RandomReal[ ] с возможным параметром NormalDistribution[ ] для генерации псевдослучайных чисел (ПСЧ) zi. Поэтому для моделирования броуновского движения использовалась эта функция. Для разыгрывания начальных условий применялся многомерный аналог этой функции – с параметром MultinormalDistribution[ ].

Для организации эффективных параллельных вычислений нужно учесть тот факт, что все моделирования независимы друг от друга. Поэтому была возможность эффективно загрузить вычислениями все параллельные ядра (N = 4) использовавшегося компьютера с четырехядерным процессором Intel Core2 Quad Q6600, работающем на тактовой частоте 3,17 ГГц. Для организации параллельных вычислений применялась команда ParallelTable[] пакета Mathematica, которой передавался список из 4 вызовов процедуры многократного (M/4) интегрирования системы СДУ. Результат выполнения команды ParallelTable[] – список всех результатов вычислений.

5. Результаты моделирования.

5.1. Особенности алгоритма интегрирования уравнений модели Шобеля–Жу–Халла–Уайта и результаты расчетов. Для проверки работы параллельного алгоритма Хойна для модели Шобеля-Жу-Халла-Уайта количество моделирований было выбрано равным 1000, т.е. каждое параллельное ядро занималось расчетом 250 моделирований. В качестве значений параметров модели были взяты значения рынка за 2007 г., детерминированная функция (t) выбиралась из модели Халла-Уайта:



где – начальный форвардный курс со сроком погашения t.

Времена расчетов для программ были:

– однопоточный алгоритм: 289 сек.;

– параллельный алгоритм: 93 сек.

Результаты пяти моделирований системы уравнений Шобеля-Жу-Халла-Уайта представлены на рис.1-3 (цена акций X(t), изменение процентной ставки R(t) и стохастическая фондовая волатильность V(t) соответственно).



Рис.1. Цена акций

При этом математические ожидания компонент фазового вектора представлены на рис.4, а дисперсия цены акций X(t) – на рис.5. Дисперсии изменения процентной ставки R(t) и стохастической фондовой волатильности V(t) приведены на рис.6 и 7.



Рис.2. Изменение процентной ставки



Рис.3. Стохастическая фондовая волатильность

Анализ поведения математического ожидания и дисперсии процесса X(t) показывает, что, несмотря на уменьшение шага, получить более гладкий вид этих характеристик не удается. Выход видится в замене используемого численного интегратора, например, на схему Мильштейна, которая, во-первых, более точна, чем процедура Хойна, а во-вторых, ориентирована на СДУ с мультипликативными возмущениями.



Рис.4. Математическое ожидание вектора состояния






Рис.5. Дисперсия первой компоненты фазового вектора



Рис.6. Дисперсия второй компоненты фазового вектора



Рис.7. Дисперсия третьей компоненты фазового вектора


5.2. Многомерная модель Хестона и результаты расчетов. Рассмотрим алгоритм интегрировании СДУ модели Хестона. В реальных условиях рынка количество факторов, оказывающих влияние на систему, может быть больше двух. В модели Хестона это можно учесть на основе «растягивания» стандартной системы из двух СДУ до 2n–мерного случая [12]:



где i, j = 1, 2, …, n. При этом взаимосвязь между парами уравнений и внутри их моделируется на основе корреляции между винеровскими процессами, т.е. заданием корреляционной матрицы RSV dt = ii = 1, ij = ji,



i, j = 1, 2, …, 2n.

Вследствие указанной коррелированности нужно было разработать алгоритм получения коррелированных винеровских процессов на основе обычным образом генерируемых некоррелированных броуновских шумов. Данная проблема была решена следующим способом. Пусть



– вектор коррелированных винеровских процессов, а



– вектор некоррелированных:





Тогда несложно увидеть возможность представления

,

где Q – нижняя треугольная матрица:





Отсюда







Значения коэффициентов модели для расчетов брались из данных текущего рынка. Количество моделирований было выбрано равным 500. Как и при интегрировании СДУ модели Шобеля-Жу-Халла-Уайта, удалось добиться существенного ускорения расчетов при распараллеливании алгоритма.



Рис.8. Динамика цен 1

Результаты пяти моделирований системы 2x2 уравнений модели Хестона представлены на рис.8-11.

Времена расчетов для программ были:

– однопоточный алгоритм: 271 сек.;

– параллельный алгоритм: 87 сек.



Рис.9. Волатильность опциона 1



Рис.10. Динамика цен 2



Рис.11. Волатильность опциона 2

В свою очередь математические ожидания компонент фазового вектора представлены на рис.12, а дисперсии компонент и ковариация первой и второй компоненты на рис.13.



Рис.12. Математическое ожидание компонент фазового вектора



Рис.13. Дисперсия компонент фазового вектора


Заключение. Целью данной работы являлся анализ возможностей организации параллельных вычислений в рамках известного пакета компьютерной алгебры Mathematica и разработка эффективных алгоритмов применения этих средств для решения некоторых задач стохастической финансовой математики и демонстрация указанных возможностей на конкретных примерах.

Из результатов реализации и применения алгоритмов были сделаны следующие выводы:

– необходимо учитывать ресурсоемкость вычислений, связанных с подготовкой расчетов, в противном случае основное время процессора будет тратиться на подготовку расчетов;

применение параллельных вычислений для интегрирования СДУ является достаточно эффективным методом ускорения получения результатов.

Библиографический список

  1. Wolfram S. The Mathematica book. – 5th ed. – Champaign, Il: Wolfram Media, 2003. – 1488 p.

  2. Малашонок Г.И., Аветисян А.И., Валеев Ю.Д., Зуев М.С. Параллельные алгоритмы компьютерной алгебры // Труды Института системного программирования. – 2004. – Т.8. – Ч.2. – С.169-180.

  3. SAGE. – URL: http://www.sagemath.org

  4. http://www.wolfram.com

  5. Parallel Computing Tools User Guide. – URL: http://reference.wolfram.com/mathematica/ Parallel Tools/tutorial/Overview.html (дата: 23.03.2012).

  6. Люу Ю–Д. Методы и алгоритмы финансовой математики. Пер. с англ. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 751 с.

  7. Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики: Учебное пособие. – Минск: Научно-методический центр "Электронная книга БГУ", 2003. – Ч.1. – 287 с.

  8. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. – М.: ФАЗИС, 1998. – Т.1. – 489 с.; Т.2. – 525 с.

  9. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy. 1973. – Vol.81, № (3). – P.637–654.

  10. Merton R. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. – 1973. – Vol.4. – P.141-183.

  11. van Haastrecht A., Lord R., Pelsser A., Schrager D. Pricing long–maturity equity and FX derivatives with stochastic interest rates and stochastic volatility // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. Vol. 45, № 3. P. 436-448.

  12. Kahl C., Jackel P. Not–so–complex logarithms in the Heston model // Wilmott Magazine: – 2005. – № 9. – P.94–103.

  13. In’t Hout K.J., Foulon S. ADI finite difference schemes for option pricing in the Heston model with correlation // Int. J. Numer. Anal. Mod. – 2010. – Vol.7, № 2. – P.303-320.

  14. Press W.M., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes. The art of Scientific Computing. – 3rd Ed. – Cambridge University Press, 2007. – 1235 p.

  15. Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. – Berlin, Heidelberg: Springer–Verlag, 1994. – 309 p.



AN APPLICATION OF PARALLEL COMPUTATIONS IN THE PACKAGE

MATHEMATICA ENVIRONMENT FOR SOLUTION OF PROBLEMS OF

STOCHASTIC FINANCIAL MATHEMATICS

Poloskov Ilya Igorevich, Poloskov Igor Egorovich

Perm State National Research University,

Bukireva st., 15, city Perm, 614990, Russia, e-mail: i.blast59@gmail.com


In this paper, we describe instruments of the computer algebra package Mathematica™ for parallel computations and applications of these instruments for development of effective tools for solution of some problems of stochastic financial mathematics. These tools are demonstrated in a few examples.


1© Полосков И.И., Полосков И.Е., 2012




Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница