Тема: Правильные многогранники


Скачать 130.56 Kb.
НазваниеТема: Правильные многогранники
Антропова Евгения
Дата26.10.2012
Размер130.56 Kb.
ТипРеферат
МКОУ «Далматовская средняя общеобразовательная школа №2»


Проект

по геометрии.

Тема: Правильные многогранники.


Выполнила ученица 10-б класса

Антропова Евгения

Проверила учитель математики

Федосеева Людмила Евгеньевна.


Далматово, 2012.


СОДЕРЖАНИЕ



  1. Определение правильного многогранника

  2. Виды правильных многогранников.

  3. Развертки и модели

  4. Правильные многогранники в природе.

  5. Геометрические скульптуры.

  6. Вывод.





Введение.

Однажды на уроке химии учительница химии сказала, кристалл поваренной соли имеет форму куба, кристаллы сернистого колчедана, имеют форму додекаэдра и назвала ещё ряд веществ кристаллы которых имеют форму многогранника. Названия их были необычными, загадочными и мне стало интересно сколько всего многогранников, почему их так странно называют, как они выглядят. Поэтому при выборе темы проекта я остановила свой выбор на теме «Многогранники». В своей работе я решила начать с определения многогранника: в разных источниках определения отличаются друг от друга, поэтому в своей работе я привела несколько примеров. Затем я рассмотрела виды многогранников и их названия. А в завершение работы мне захотелось показать, как прекрасен мир многогранников в окружающей нас природе.

Многоранник .


Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности

Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2)

все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой

его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные равны.

Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани – равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.

Виды правильных многогранников


Все ребра правильного многогранника равны, все двугранные углы правильного многогранника равны, все многогранные углы правильного многогранника равны. Существует ровно пять выпуклых правильных многогранников:

Правильный тетраэдр (четырехгранник) — многогранник, составленный из четырех правильных треугольников (рис.1а).

Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб — многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов) (рис. 1б).

Правильный октаэдр (восьмигранник) — многогранник, составленный из восьми правильных треугольников (рис. 1в).

Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) — многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1г).

Правильный икосаэдр (двадцатигранник) — многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников (рис. 1д).



Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Грани правильного многогранника могут быть либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками. Действительно, угол правильного -угольника при  не меньше . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при , то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

3) Правильные и полуправильные многогранники (Платоновы и Архимедовы тела) и их основные характеристики (n - число рёбер, сходящихся в одной вершине).


Таблица №1. Правильные многогранники.


№ п/п

Название многогранника

Рисунок

Граней

Вершин

Рёбер

n

1

Тетраэдр



4 треугольных

4

6

3

2

Октаэдр



8 треугольных

6

12

4

3

Куб



6 квадратных

8

12

3

4

Додекаэдр



12 пятиугольных

20

30

3

5

Икосаэдр



20 треугольных

12

30

5

6

Усечённый тетраэдр



4 треугольных


4 шестиугольных

12

18

3

7

Усечённый куб



8 тругольных


6

восьмиугольных

24

36

3

8

Кубооктаэдр



8 тругольных


6 квадратных

12

24

4

9

Усечённый октаэдр



6 квадратных


8 шестиугольных


24

36

3

10

Усечённый додекаэдр



20 треугольных


12 десятиугольных

60

90

3

11

Усечённый икосаэдр



12 пятиугольных


20 шестиугольных

60

90

3

12

Икосододекаэдр



20 треугольных


12 пятиугольных

30

60

4

13

Ромбокубооктаэдр



8 треугольных


18 квадратных

24




4

14

Усечённый кубооктаэдр



12 квадратных


8 шестиугольных


6 восьмиугольных

48

72

3

15

Ромбоикосододекаэдр



20 треугольных


30 квадратных


12 пятиугольных

60

120

4

16

Усечённый икосододекаэдр



30 квадратных


12 шестиугольных


12 десятиугольных

120

180

3

17

Курносый куб



32 треугольных


6 квадратных

24

60

5

18

Курносый дедекаэдр



80 треугольных


12 пятиугольных

60

150

5



РАЗВЕРТКИ пяти правильных многогранников.


В школьном курсе геометрии изучаются пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.





Почему их пять?


Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.


  • Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

  • Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

  • Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324° - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

  • Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Тетраэдр

Икосаэдр

Гексаэдр

Октаэдр

Додекаэдр


Правильные многогранники в природе.


Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба.




Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба.


При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Алмаз (октаэдр)

Шеелит (пирамида)

Хрусталь (призма)

Поваренная соль (куб)


Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.


Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.


Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы".








Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший обьем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.




Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр.





Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.




Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра.




Молекулы воды имеют форму тетраэдра.




Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров.





Заключение.

Работа над проектом позволила мне окунуться в прекрасный мир многогранников, кроме того я поняла, что геометрия – это не только школьный предмет, это мир, который окружает нас. И если раньше геометрия для меня была школьным скучным предметом, то сейчас этот предмет мне стал нравиться больше.

Работая над данным проектом, у меня появилось желание создать свои модели многогранников.


Приложение.

Геометрические скульптуры.

Геометрические скульптуры из канцелярских принадлежностей





Тяга к творчеству есть в людях любой профессии, только зачастую люди не сразу могут заметить её в себе. Однако творчество, как и вода всегда найдёт дорогу к реализации, если конечно человек готов принять и эту сторону своей личности. К примеру преподаватель математики Закари Абель из американского вуза занимается проведением разнообразных мероприятий связанных с её предметом и в тоже время он проводит исследования в области теоретической информатики и геометрии при помощи собственоручно собранных скульптур из различных канцелярских предметов.









Литература:



Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Разместите кнопку на своём сайте:
cat.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
Главная страница