Конспект лекций по курсу «теория чисел»
Скачать 185.62 Kb.
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского ![]()
![]() КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ» Методическая разработка Нижний Новгород 2010 УДК 511.17 Конспект лекций по курсу «Теория чисел». Методическая разработка / Составитель Тюрин С.А. - Н.Новгород: ННГУ, 2010. – 19 с. Рассмотрены следующие разделы теории чисел: теория делимости, простые и составные числа, НОД и НОК, числовые функции, цепные дроби, теория сравнений, кольцо классов вычетов, решение сравнений, первообразные корни и индексы, сравнения 2-й степени, символ Лежандра, закон взаимности. Для студентов механико-математического факультета. Составитель: Тюрин С.А. Рецензент: доцент кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ Разуваев А.Г. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2010 г. Лекция 1
5) b|a, k≠0kb|ka 6) kb|ka, k≠0b|a 7) b|ab|ac 8) c|a, c|bc|a±b 9) c|a1, c|a2, ..., c|an c|a1b1+a2b2+...+anbn 10) b1|a1, b2|a2, ..., bn|anb1b2...bn|a1a2...an 11) b|abn|an
Теорема. Наименьший положительный делитель не равный 1 – простое число. Теорема. Любое натуральное число большее 1 является либо простым, либо произведением простых. Основная теорема арифметики. Любое натуральное число большее 1 раскладывается на простые множители единственным образом.
Теорема. p-простое, p|abp|a или p|b. Теорема о разложении на простые множители делителя натурального. числа.
Лекция 2 Решето Эратосфена. Теорема. Если натуральное число n>1 не делится ни на одно простое, не превосходящее ![]() Теорема. Если в множестве [2,N] вычеркнуть все числа, кратные первым r простым числам, то первое незачеркнутое число – простое. Алгоритм нахождения простых чисел.
Теорема. Для любых натуральных чисел a1,a2,…,an существует НОД. (Для доказательства надо взять НОК всех ОД)
Теорема: d=(a1,a2,...,an)d является ОД и числа {a1/d, a2/d, ...an/d} – взаимно простые. Теорема. 1) Если (a1,a2,...,an)=d, то (ka1,ka2,...,kan)=kd; 2) Если k=ОД, то (a1/k, a2/k,...,an/k)=d/k.
Замечание. Для трех чисел это неверно. Следствие. a и b взаимно просты [a,b]=ab.
Лемма. a=bлюбой делитель одного числа является делителем второго и наоборот. Теорема. (a1,a2,...,an)=((a1,a2,...,an-1),an). Аналогичная теорема справедлива и для НОК.
1) Если a и c – взаимно простые числа и c|ab, то c|b. 2) Если a и c – взаимно простые числа, то (ab,c)=(b,c). 3) Если a и c – взаимно простые числа и b и c – взаимно простые числа, то ab и c – взаимно простые числа.
Лекция 3
Целая часть действительного числа.
Теорема. Если n=p1k1p2k2...psks, то (n)=(k1+1)(k2+1)...(ks+1). ![]() Теорема. ![]() Совершенные числа. Примеры: 6,28. Проблема существования нечетных совершенных чисел. Вид четных совершенных чисел: ![]() Функция Эйлера (n). Вид (p), (pn).
Примеры: 1) (n), (n) 2) n 3) (n)- без доказательства. Числовой интеграл. ![]() Теорема. Если f – мультипликативна, то и F – мультипликативна, причем ![]() Примеры числовых интегралов: 1) 1 2) n 3) Формула Гаусса ![]() Лекция 4
Цепная дробь – рациональное число. Пример: <2,7,3>=47/22. Теорема. Любое рациональное число может быть представлено конечной цепной дробью. Пример: 73/34=<2,6,1,4>. Теорема. Разложение рационального числа в цепную дробь единственно.
Рекуррентные последовательности ![]() Таблицы для вычисления подходящих дробей.
1) ![]() 2) Несократимость подходящих дробей; 3) ![]() 4) Знаменатели подходящих дробей возрастают: ![]() 5) ![]() 6) Дроби с четными номерами возрастают, с нечетными убывают; 7) Из двух соседних дробей дробь с четным номером меньше; 8) Любая дробь с четным номером меньше любой дроби с нечетным номером; 9) Расстояния между соседними подходящими дробями уменьшаются.
Теорема Существует предел последовательности подходящих дробей. Определение БЦД (бесконечной цепной дроби): ![]()
Теорема ![]() Теорема ![]() ![]() Лекция 5
Теорема. Разложение иррационального числа в БЦД единственно.
Определение. ![]() Критерий периодичности: ![]() Теорема. Любая периодическая БЦД есть квадратичная иррациональность. ![]() Нахождение квадратного уравнения для периодической БЦД.
Пример: ![]()
![]() Лекция 6
Определение: ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() Теорема. Любая подходящая дробь является наилучшим приближением к ![]()
Теорема. ![]() ![]() ![]()
1) рефлексивность; 2) симметричность; 3) транзитивность; 4) ![]() 5) ![]() ![]() 6) ![]() 7) ![]() 8) Сложение и вычитание сравнений; 9) Умножение сравнений; 10) Возведение в степень; 11) Если ![]() 12) Перенос слагаемых с изменением знака; 13) ![]() 14) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 15) ![]() ![]() ![]() Лекция 7
Теорема. ![]() ![]() Теорема. Если два класса имеют общий элемент, то они совпадают.
Теорема. Наименьший неотрицательный вычет класса ![]() ![]() ![]() Теорема. Если остаток от деления ![]() ![]() ![]() ![]() 1) ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Класс вычетов числа ![]() ![]() ![]() ![]()
Примеры ( ![]() Теорема. Множество ![]() ![]() Понятие делителя нуля в кольце. Примеры в кольце ![]() Теорема. Поле не имеет делителей нуля. Теорема. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Примеры: 1) минимальное поле ![]() ![]() Лекция 8
Теорема. Любые ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Определение: НОД класса вычетов и модуля. Класс, взаимно простой с модулем. Приведенная система вычетов (ПрСВ). Количество классов вычетов, взаимно простых с ![]() ![]() Теорема. Любые ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следствие. Функция Эйлера мультипликативна.
![]() ![]() Малая теорема Ферма. Пусть ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() Следствие. ![]() ![]()
Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Определение решения сравнения. Способ перебора. Пример: ![]() Эквивалентные сравнения. Преобразования сравнений: 1) замена коэффициентов; 2) прибавление (вычитание); 3) умножение (деление) обеих частей на число, взаимно простое с модулем; 4) умножение (деление) обеих частей и модуля на натуральное число.
Теорема. Если ![]() ![]() ![]() Теорема. Если ![]() Теорема. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Лекция 9
Пример: ![]() ![]() С помощью цепных дробей: ![]() ![]() ![]()
Теорема. Пусть ![]() Тогда 1) если ![]() ![]() 2) если ![]() ![]() решений. Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]()
Если ![]() ![]() Определение решения системы сравнений: класс вычетов ![]()
Обобщение: в случае системы из нескольких сравнений такого вида существует одно решение или система не имеет решений. Китайская теорема об остатках. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример: ![]()
Лекция 10
Теорема. Сравнение высшей степени равносильно сравнению со старшим коэффициентом, равным 1. Теорема. Сравнение ![]() ![]() ![]() Теорема. Сравнение ![]() ![]()
Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть сравнения системы (2) имеют соответственно ![]() ![]()
Теорема. ![]() Теорема. ![]() ![]() Теорема. ![]() Пример: последние цифры ![]() Теорема. ![]() Следствие 1. ![]() Следствие 2. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Лекция 11
Пример ( ![]() Контрпример ( ![]() Теорема. Если модуль – простое число, то первообразный корень существует. В этом случае количество первообразных корней равно ![]() Теорема. Первообразные корни по модулю ![]() ![]() ![]() ![]()
Контрпример ( ![]() Таблица индексов ( ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следствие 1. ![]() Следствие 2. ![]()
Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Вычет ![]() ![]() Теорема. Вычеты ![]() ![]() Замечание. Сравнения ![]() ![]() Теорема. Число классов вычетов ![]() ![]() ![]() Лекция 12
степени ![]() Определение. Корень ![]() ![]() Теорема. Все корни ![]() ![]() умножением на все корни ![]() ![]()
Число решений равно 0 или 2: ![]() Определение: квадратичный вычет и невычет. Пример: ![]() Критерий Эйлера. ![]() ![]() ![]() Пример: ![]() Теорема. Число классов квадратичных вычетов равно числу классов квадратичных невычетов и равно ![]() ![]() Пример: ![]()
Определение: Пусть ![]() ![]() ![]() Символ Лежандра числа ![]() ![]() вычет по модулю ![]() ![]() Обозначения: ![]()
Свойства символа Лежандра: 1) ![]() 2) ![]() 3) Критерий Эйлера: ![]() 4) ![]() 5) ![]() 6) ![]() ![]() ![]() 7) ![]() ![]() Пример: может ли ![]() Лекция 13
![]() Теорема (Закон взаимности). ![]() Следствие. если хотя бы одно из чисел ![]() ![]() ![]() ![]()
Свойства символа Якоби. 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() Лемма. Если ![]() ![]() ![]() Следствие. ![]() ![]() 4) ![]() 5) ![]() 6) Закон взаимности. Если ![]() ![]()
2) ![]() 3) ![]() ЛИТЕРАТУРАОсновная:
Дополнительная:
г. Горький, ГГУ, 1986. |
Лекция 1 | 3 |
Лекция 2 | 3 |
Лекция 3 | 4 |
Лекция 4 | 5 |
Лекция 5 | 6 |
Лекция 6 | 7 |
Лекция 7 | 7 |
Лекция 8 | 8 |
Лекция 9 | 10 |
Лекция 10 | 11 |
Лекция 11 | 12 |
Лекция 12 | 13 |
Лекция 13 | 15 |
Литература. | 17 |
Конспект лекций по курсу
«Теории чисел»
Методическая разработка
Составитель
Тюрин Сергей Андреевич
Подписано к печати . Формат 60х84 1/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л.
Тираж экз. Заказ № .
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
603950, Н. Новгород, проспект Гагарина, 23.
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
- Математическая секция Построение признаков делимости чисел
Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их... - Конспект лекций по курсу «Физико-технические основы лазерных технологий»
Вейко В. П. Опорный конспект лекций по курсу «Физико–технические основы лазерных технологий». Раздел: Лазерная микрообработка. Изд.... - Тематический план лекций по специальности 08. 00. 05. "Экономика и управление народным хозяйством"
Наука управления: предмет, методы и система понятий, теоретические основы науки управления, теория систем, теория организации, теория... - Конспект лекций по курсу «Организация ЭВМ и систем» для студентов специальности 220100 Вычислительная
- Конспект лекций по курсу «Организация ЭВМ и систем» для студентов специальности 220100 Вычислительная
- Конспект лекций Москва Институт международного права и экономики имени А. С. Грибоедова 2007
А 94 Современные pr-технологии: цели, методы, инструментарий: Конспект лекций. – М.: Импэ им. А. С. Грибоедова, 2007. – 50 с - Конспект лекций по курсу «управленческие решения»
Принятие решений – особый вид человеческой деятельности, направленный на выбор способа достижения поставленной цели - Программа курса лекций «теория чисел»
В настоящее время теоретико-числовые методы криптографии активно проникают в сферу экономики и финансов. Этому во многом способствует... - «Теория чисел»
Мурзинова Г. С.,, к ф м н., доцент кафедры алгебры и теории чисел, математический факультет - Вопросы к экзамену по курсу “Линейная алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел”
Корни и значения многочленов: теорема Безу, число корней и степень, формулы Виета, интерполяционная формула Лагранжа
База данных защищена авторским правом ©cat.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
cat.convdocs.org
обратиться к администрации
cat.convdocs.org